Description

我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手 环，一个留给自己，一个送给她。每个手环上各有 n 个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。但是在她生日的前一天，我的室友突然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有装饰物的亮度增加一个相同的自然数 c（即非负整数）。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，但是由于上面 装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差异值最小。在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 1,2,…,n，其中 n 为每个手环的装饰物个数，第 1 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 xi，第 2 个手 环的 i 号位置装饰物亮度为 yi，两个手环之间的差异值为(参见输入输出样例和样例解释)： ${\sum }_{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2$麻烦你帮他计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小， 这个最小值是多少呢？

Input
输入数据的第一行有两个数n, m，代表每条手环的装饰物的数量为n，每个装饰物的初始 亮度小于等于m。
接下来两行，每行各有n个数，分别代表第一条手环和第二条手环上从某个位置开始逆时 针方向上各装饰物的亮度。
1≤n≤50000, 1≤m≤100, 1≤ai≤m

Output
输出一个数，表示两个手环能产生的最小差异值。
注意在将手环改造之后，装饰物的亮度 可以大于 m。

Sample Input
5 6
1 2 3 4 5
6 3 3 4 5
Sample Output
1

【样例解释】
需要将第一个手环的亮度增加1，第一个手环的亮度变为： 2 3 4 5 6 旋转一下第二个手环。对于该样例，是将第二个手环的亮度6 3 3 4 5向左循环移动 2017-04-15 第 6 页，共 6 页 一个位置，使得第二手环的最终的亮度为：3 3 4 5 6。 此时两个手环的亮度差异值为1

solution

虽然题目说只能增加自然数$c$亮度
但是既可以是给第一个环加，也可以是给第二个环加
所以转化为给固定一个环增加$c$亮度，$c$可以是负数

假设枚举$A$环增加的亮度为$x$，考虑最后的结果
$$\sum _{i=1}^n(a_i+x-b_i{)}^2=\sum _{i=1}^n(a_i^2+x^2+b_i^2+2a_{i}x-2a_i{b}_i-2b_{i}x)$$$$=\sum _{i=1}^n{a}_i^2+\sum _{i=1}^n{b}_i^2+n{x}^2+2x\sum _{i=1}^n{a}_i-2x\sum _{i=1}^n{b}_i-2\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$$
发现只有最后一项$2{\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i$可以改变
因为环可以旋转，那么对应位的亮度乘积求和可能会不同
所以最大化该项就可以保证差异值最小

$$h(i)=\sum _{j=0}^{i}f(i)\ast g(i-j)$$
将$A$环扩倍，反转$B$环
使用$FFT$卷积，这样$A$环的$(n,2n]$就是所有可能旋转的情况

code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define maxn 300005
#define ll long long
struct complex {double x, i;complex(){}complex( double X, double I ) {x = X, i = I;}
}A[maxn], B[maxn], rB[maxn];double pi = acos( -1.0 );complex operator + ( complex a, complex b ) {return complex( a.x + b.x, a.i + b.i );
}complex operator - ( complex a, complex b ) {return complex( a.x - b.x, a.i - b.i );
}complex operator * ( complex a, complex b ) {return complex( a.x * b.x - a.i * b.i, a.x * b.i + a.i * b.x );
}int len = 1;
int r[maxn];void FFT( complex *c, int f ) {for( int i = 0;i < len;i ++ )if( i < r[i] ) swap( c[i], c[r[i]] );for( int i = 1;i < len;i <<= 1 ) {complex omega( cos( pi / i ), f * sin( pi / i ) );for( int j = 0;j < len;j += ( i << 1 ) ) {complex w( 1, 0 );for( int k = 0;k < i;k ++, w = w * omega ) {complex x = c[j + k], y = w * c[j + k + i];c[j + k] = x + y;c[j + k + i] = x - y;}}}
}ll suma1, suma2, sumb1, sumb2;
int n, m;int main() {scanf( "%d %d", &n, &m );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {scanf( "%lf", &A[i].x );A[i + n].x = A[i].x;suma1 += A[i].x;suma2 += A[i].x * A[i].x;}for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {scanf( "%lf", &B[i].x );sumb1 += B[i].x;sumb2 += B[i].x * B[i].x;}for( int i = 1;i <= n;i ++ )rB[i].x = B[n - i + 1].x; int l = 0;while( len <= n * 3 ) {len <<= 1;l ++;}for( int i = 0;i < len;i ++ )r[i] = ( r[i >> 1] >> 1 ) | ( ( i & 1 ) << ( l - 1 ) );FFT( A, 1 );FFT( rB, 1 );for( int i = 0;i <= len;i ++ )A[i] = A[i] * rB[i];FFT( A, -1 );for( int i = 0;i <= len;i ++ )A[i].x = ( ll ) ( A[i].x / len + 0.5 );ll ans = 1ll << 60;for( int i = 1;i <= n;i ++ )for( int j = -m;j <= m;j ++ ) //初始的亮度都不超过m 那么就没必要把差x弄得太过火ans = min( ans, suma2 + sumb2 + n * j * j + 2ll * j * ( suma1 - sumb1 ) - 2ll * ( ll ) A[i + n].x );printf( "%lld", ans );return 0;
}
/*
Σ(ai+x-bi)^2=Σai^2+Σbi^2+n*x*x+2*x*(Σai-Σbi)-2*Σai*bi
因为旋转，所以最后一项是不固定的
在枚举x后最大化后面一项
最后的相差就是最小的
考虑卷积
*/