~~脑子是个好东西，希望人人都有

构造真的不是个东西，看了一天视频，没有一道题会做~~

T1：CF1227G Not Same

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solution

通过观察样例输出，像01矩阵，事实证明，的确如此
将问题转化一下，变成矩阵思考
每一列的和一定，每一行互不相同

先考虑如果全是$n$，可以怎么构造？？
——很简单
将$n\times n$的全是$1$的矩阵，挖掉对角线，然后再填一行全是$1$

这个做法提供了正解方向
考虑能否构造出一个$n+1$行$n$列的符合要求的矩阵？？
——答案是当然可以

将所有数字从大到小排序，对于第$i$列，就从第$i$行开始填
一直往下填，如果不够就跳到第$1$行再继续填

---

简单证明一下，为什么这么填就保证了行行之间互不相同？？——反证法

假设第$i$行和第$j$行相同$(i<j)$，用$(i,j)$表示第$i$行第$j$列

必有$(i,j)=1,(j,i)=1$
第$j$行和第$i$行的$j$列都为$1$，表明$a_j>1$

思考$i+1$列，有$a_i\ge a_{i+1}$
因为所有数字取值$[1,n]$，而我们构造的矩阵为$n+1$行，所以必有$(i,i+1)=0$
对应过去必有$(j,i+1)=0$

$(i,i+1)=0$这个条件能说明什么？？
——$a_i>a_{i+1}$，即$a_i$一定严格大于$a_{i+1}$

再思考$i+2$列，有$a_i>a_{i+1}\ge a_{i+2},(i+1,i+2)=0$
可以画画图，发现如果想要$(i,i+2)=1$，必有$a_i=a_{i+1}$，矛盾
所以$(i,i+2)=0$，对应有$(j,i+2)=0$

$(i+1,i+2)=0,(i,i+2)=0$这个条件又能说明什么？？
——$a_i>a_{i+1}>a_{i+2}$

以此类推，可以推出$a_i>a_{i+1}>...>a_{j-1}$
且$(j,i+1)=0,(j,i+2)=0...(j,j-1)=0$
关注$(j,j-1)=0$，翻译一下：第$j-1$列的第$j$行为$0$
然而根据我们的规则，第$j-1$列应当从$j-1$行开始填
于是得到$a_{j-1}=1$，又因为排序是从大到小，$a\in [1,n]$，所以$a_{j-1}=a_j=1$
与上面求出的$a_j>1$矛盾

故证明了构造的不重复性

code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 1005
int n, opt;
int a[maxn], id[maxn], pos[maxn];
int matrix[maxn][maxn];bool cmp( int i, int j ) {return a[i] > a[j];
}int main() {scanf( "%d", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ )scanf( "%d", &a[i] ), id[i] = i;sort( id + 1, id + n + 1, cmp );for( int i = 1;i <= n;i ++ )pos[id[i]] = i;for( int i = 1;i <= n;i ++ )for( int j = 1;j <= a[id[i]];j ++ ) {int p = ( i + j - 1 ) > n + 1 ? i + j - n - 2 : i + j - 1;matrix[p][i] = 1;}printf( "%d\n", n + 1 );for( int i = 1;i <= n + 1;i ++ ) {for( int j = 1;j <= n;j ++ )printf( "%d", matrix[i][pos[j]] );printf( "\n" );}return 0;
}

T2：CF1364E X-OR

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首先要了解$|$操作原理，两个数的二进制上对应位置有一个为$1$，则$|$的结果便为$1$
故有两个很显然的结论

1.$0|x=x$
2.$x|y\ge x,x|y\ge y$

观察总操作次数比$2n$多了几次常数操作
于是乎，想到如何在$n$次查询左右找出$0$所在的位置
然后将其余位置依次与$0$询问，就能得到位置上的数值大小了

接下来就只说说如何找$0$？？
——其实很简单
先随便选两个$x,y$，然后与剩下的数依次查询
1.$P_x|P_y>P_y|P_z\Rightarrow P_x\ne 0,x=z$
2.$P_x|P_y<P_y|P_z$，此时不进行任何操作
3.$P_x|P_y=P_y|P_z\Rightarrow P_y\ne 0,y=z$
这样就锁定了$x,y$中必有一个为$0$
再随机$z$，或$P_z$的值更小的，便是$0$

code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 5000
int n;
int s[maxn], ans[maxn];int ask( int x, int y ) {printf( "? %d %d\n", x, y );fflush( stdout );int z;scanf( "%d", &z );return z;
}int main() {scanf( "%d", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ )s[i] = i;random_shuffle( s + 1, s + n + 1 );int x = s[1], y = s[2];int val = ask( x, y ); for( int i = 3;i <= n;i ++ ) {int z = s[i];if( z == x || z == y ) continue;else {int w = ask( z, y );if( w < val ) val = w, x = z; else if( w == val ) y = z, val = ask( x, y);}}while( 1 ) {int z = s[rand() % n + 1];if( z == x || z == y ) continue;else {int v1 = ask( x, z );int v2 = ask( y, z );if( v1 == v2 ) continue;/*不能删去!!可能出现x,y其中一个为0另外一个又恰好是z的子串(其二进制上为1的每一位,z对应的也是1)此时或起来的值都是z无法判断谁是0 */ if( v1 > v2 ) swap( x, y );break;}}for( int i = 1;i <= n;i ++ )if( i == x ) continue;else ans[i] = ask( i, x );printf( "!" );for( int i = 1;i <= n;i ++ )printf( " %d", ans[i] );return 0;
} 
/*
P(x)|P(y)>P(y)|P(z) ——> P(x)≠0 z代替x 
P(x)|P(y)<P(y)|P(z) 不操作
P(x)|P(y)=P(y)|P(z) ——> P(y)≠0 z代替y
最后随机一个z来判断x,y谁是0 
*/

T3：CF1375H Set Merging

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先从最原始的暴力下手，即找到$[l,r]$里的每一个数，然后依次合并起来即可
——这当然不是正解，但告诉我们单次查询的操作次数上限为$n$
优化暴力
考虑构建权值线段树，每个节点存储节点区间$[l,r]$中每个值出现的位置，再从小到大排序
线段树上每个节点最多有$n^2$种不同本质的查询（即查询的$l,r$不同）
可以套一个$map$来记录（记忆化），存在即出现过，即有现成的集合使用

时间复杂度分析详见第一篇

code

#include <map>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 100005
#define maxq 2200005
#define Pair pair < int, int >
struct node {vector < int > num;map < Pair, int > Hash;
}t[maxn << 2];
Pair vis[maxq];
int n, Q, cnt;
int a[maxn], pos[maxn], ans[maxn];void build( int now, int l, int r ) {for( int i = l;i <= r;i ++ )t[now].num.push_back( pos[i] );sort( t[now].num.begin(), t[now].num.end() );if( l == r ) return;int mid = ( l + r ) >> 1;build( now << 1, l, mid ), build( now << 1 | 1, mid + 1, r );
}int query( int now, int l, int r ) {int left = lower_bound( t[now].num.begin(), t[now].num.end(), l ) - t[now].num.begin();int right = upper_bound( t[now].num.begin(), t[now].num.end(), r ) - t[now].num.begin() - 1;if( right < left ) return 0;if( left == right ) return t[now].num[left];int pos = t[now].Hash[make_pair( left, right )];if( pos ) return pos;int lson = query( now << 1, l, r ), rson = query( now << 1 | 1, l, r );if( ! lson || ! rson ) return t[now].Hash[make_pair( left, right )] = lson | rson;vis[++ cnt] = make_pair( lson, rson );return t[now].Hash[make_pair( left, right )] = cnt;
}int main() {scanf( "%d %d", &n, &Q );cnt = n;for( int i = 1;i <= n;i ++ )scanf( "%d", &a[i] ), pos[a[i]] = i;	build( 1, 1, n );for( int i = 1, l, r;i <= Q;i ++ ) {scanf( "%d %d", &l, &r );ans[i] = query( 1, l, r );}printf( "%d\n", cnt );for( int i = n + 1;i <= cnt;i ++ )printf( "%d %d\n", vis[i].first, vis[i].second );for( int i = 1;i <= Q;i ++ )printf( "%d ", ans[i] );return 0;
}