前言

突然发现自己没有系统学过期望。
做一本通的时候是从二分图开始听的课，dp这一章只是四处搜题解而已。
做期望题基本都是靠玄学和《感性理解》
都是很简单的东西，但系统很重要，该补的还是要补的。

期望的基本性质

1. $E(c)=c$
2. $E(cx)=cE(x)$
3. $E(x+y)=E(x)+E(y)$
4. $E(xy)=E(x)E(y)$ （条件：x,y相互独立）

比较容易错的是第四条。其实这个性质附带的条件是很自然的，把两边的期望式子都拆开：
$$\sum _{i,j}{x}_i{y}_{j}P(x=x_i,y=y_j)=(\sum _i{x}_{i}P(x=x_i))\times (\sum _j{y}_{j}P(y=y_j))$$
这个东西成立的条件是 $P(x=x_i,y=y_j)=P(x=x_i)\times P(y=y_j)$，也就是 $x,y$ 相互独立。

第三条看着特显然但是也不是那么显然。
$$\begin{gathered} E(x+y)=\sum _{i,j}(x_i+y_j)P(x=x_i,y=y_j) \\ =\sum _i{x}_i\sum _{j}P(x=x_i,y=y_j)+\sum _j{y}_j\sum _{i}P(x=x_i,y=y_j) \\ =\sum _i{x}_{i}P(x=x_i)+\sum _j{y}_{j}P(y=y_j) \\ =E(x)+E(y) \end{gathered}$$
其中 ${\sum }_{j}P(x=x_i,y=y_j)$ 自然语言就是只要 $x=x_i$，$y$ 取什么值都行，那么也就是 $P(x=x_i)$，才有了第二行到第三行的变换。
其中第三条极其常用，当总问题较为复杂时，常常将其拆分为几个小问题分别进行期望的求解。

较复杂的期望模型

给出初始状态 $S$，终止状态 $T$。
每个状态 $A$ 有若干转移状态 $B_i$ 和对应的概率以及转移代价，$\sum P(A\to B_i)=1$。
定义 $E(x)$ 表示从 $x$ 到结束的期望代价，则有转移：
$$E(A)=\sum _i(E(B_i)+cost(A\to B_i))\ast P(A\to B_i)$$
转移正确性来自期望本身的定义。
当转移为 DAG 时，直接拓扑即可。（绿豆蛙的归宿）
当转移有环时，高斯消元。（随机游走）

利用概率求解期望

先求出每个事件的概率，最终乘上其对应的价值，也可以求出期望。