所谓 Prufer 序列，就是 Prufer 发明的序列。

（逃）

前言

优雅的神奇魔术。
看名字很高大难，但实际上是高大清（小清新）。
很简单的建立起树与序列之间的双射，且这个序列的性质非常良好，且这个序列的性质与度数密切相关。
能优雅简洁的证明一些恶心的结论。

注意！ Prufer序列不考虑只有一个结点的树。

解析

定义

把一棵树转化为 Prufer 序列的流程如下：

1. 找到当前度数为1且编号最小的点 $x$。
2. 将 $x$ 点删去，将唯一与 $x$ 相连的点 $f$ （可以理解为以n作根情况下的“父亲”）加入 Prufer 序列。
3. 将 $f$ 的度数减一。
4. 不断执行 1-3，直到只剩下两个点。

最终我们得到的长度为 $n-2$ 的序列即最终的 Prufer 序列。

性质

其有如下性质：

1. 序列中的每个数都是 $[1,n]$ 之间。
2. 一个度数为 $d_x$ 的点在序列中出现 $d_x-1$ 次。
3. 最终剩下的两个点中必然有一个点为 $n$。

都较为显然。

把树转化为 Prufer 序列

利用 Prufer 序列的定义，开一个堆存当前的度数为1的点，即可 $O(n\log n)$ 的构造。
但可以做到线性。
维护一个指针 $p$，从1扫到n，表示当前编号最小的一度点。每次后移指针知道找到一个一度点，将其加入 Prufer 序列，如果父亲减完度数变成了一度点且编号小于 $p$ 则将父亲加入序列，并递归的考虑祖父，否则直接忽略。
注意这么做最后会得到一个 $n-1$ 的序列，因为最后会把和 $n$ 相连的点也删去。把序列尾抹掉即可。

for(int i=1;i<n;i++){fa[i]=read();du[i]++;du[fa[i]]++;}for(int p=1;p<n;p++){if(du[p]>1) continue;q[++tot]=fa[p];int f=fa[p];--du[f];while(du[f]==1&&f<p){q[++tot]=fa[f];f=fa[f];--du[f];}}--tot;

把 Prufer 序列转化为树

利用 Prufer 序列的性质2，我们可以得到每个点的度数。
每次找到最小的一度点，它的父亲就是当前序列的队首元素，将其与队首连边，队首的度数减一，并后移队首指针。
和树转化为 Prufer 序列类似的，我们也可以维护一个指针 $p$ 做到线性。
注意，由于 Prufer 序列的长度只有 n-2，我们必然只为 n-2 个结点分配了“父亲”（即连了n-2条边），最后我们最后找到那个没有被分配父亲的非 n 的点，将其与 n 相连即可。

for(int i=1;i<=n;i++) du[i]=1;for(int i=1;i<=n-2;i++){q[i]=read();++du[q[i]];}int pl=1;for(int p=1;p<n&&pl<=n-2;p++){if(du[p]>1) continue;int x=p;while(x<=p&&du[x]==1&&pl<=n-2){fa[x]=q[pl];du[q[pl]]--;x=q[pl];++pl;}}for(int i=1;i<n;i++) if(!fa[i]) fa[i]=n;

凯莱定理

通过上面的构造我们可以知道，有标号无根树和Prufer序列是双射关系。
Prufer 序列的个数显然为 $n^{n-2}$ 个，那么我们也就自然得出了凯莱定理：

$n$ 个结点的有标号无根树有 $n^{n-2}$ 个。