所谓二项式反演，就是对两个项的式子进行反演。

（逃）

前言

期望和容斥是我的感性二兄弟！
之前的容斥我基本也都是靠感性理解做的…
感性理解就会导致：考场上试着写出一个式子，不知道它对不对。
然后就会有写出正确式子但是不敢敲代码，或者敲了半天过不去样例才明白自己的式子是错的（甚至还怀疑是不是代码写挂了）这样的悲剧发生（我都经历过）
前天差不多搞完了期望，今天轮到容斥了！
让我们暂时放下感性，拥抱数学。

PS：本篇有大量的数学语言，其中的一些变换来自与对式子实质的理解，直接硬看可能难以明白。建议看清楚大致思路后就按照自己的路子推一遍。（因为我就是这么做的）

经典容斥原理

我本来想叫它狭义容斥，但似乎有点瞧不起它…
就像经典力学不叫狭义力学一样。
抽象的内容如下：
假设有 $k$ 个性质，满足每个性质的集合分别为 $A_{1...k}$，S={Ai∣1≤i≤k}S=\{A_i|1\le i\le k\}S={Ai​∣1≤i≤k}，那么就有：
$$|\bigcap _{i=1}^k{A}_i|=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|}\times |\bigcap _{i=1}^{|T|}\overline{T_i}|$$
证明：
设 GP={x∣∀Ai∈P,x∈Ai,∀Ai∉P,x∉Ai}G_P=\{x|\forall A_i\in P,x\in A_i,\forall A_i\notin P,x\notin A_i\}GP​={x∣∀Ai​∈P,x∈Ai​,∀Ai​∈/​P,x∈/​Ai​}，也就是恰好满足性质集合 $P$ 的元素集合。
考虑每个 $G$ 集合的统计次数，就有：
$$\begin{gathered} \sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|}\times |\bigcap _{i=1}^{|T|}\overline{T_i}|=\sum _{P\subseteq S}|G_P|\sum _{T\cap P=\varnothing }(-1{)}^{|T|} \\ =\sum _{P\subseteq S}|G_P|\sum _{T\subseteq \bar{P}}(-1{)}^{|T|}=\sum _{P\subseteq S}{G}_P[\bar{P}=\varnothing ] \\ =|\bigcap _{i=1}^k{A}_i| \end{gathered}$$
证毕。

广义二项式反演/广义容斥

通常是用来进行至多和恰好之间的转化。

本人非常不喜欢广义容斥这个名字。
因为感觉它有误导性，我很长时间都是按照容斥的角度硬理解，但是就用容斥三个圈套来套去的那点东西，把组合数说成几个里面选几个，硬考虑统计次数，似乎很难讲明白，也许其实也可以那么理解，只是我不会qwq。
我感觉还是从它的另一个叫法：广义二项式反演 的角度来理解更加简单。
定义 $f_x$ 为至少选 $x$ 个元素的方案数，$g_x$ 为恰好选 $x$ 个元素的方案数。
则有：
$$f_x=\sum _{i=x}^n{C}_i^x{g}_i$$
然而，通常情况下，$g$ 的值较难求出，而 $f$ 的值相对简单，这是就需要进行反演用 $f$ 求 $g$：
$$g_x=\sum _{i=x}^n(-1{)}^{i-x}{C}_i^x{f}_i$$
证明：
$$\sum _{i=x}^n(-1{)}^{i-x}{C}_i^x{f}_i$$
$$=\sum _{i=x}^n(-1{)}^{i-x}{C}_i^x\sum _{j=i}^n{C}_j^i{g}_j$$
$$=\sum _{j=x}^n{g}_j\sum _{i=x}^j(-1{)}^{i-x}{C}_i^x{C}_j^i$$
$$=\sum _{j=x}^n{g}_j\sum _{i=x}^j(-1{)}^{i-x}{C}_j^x{C}_{j-x}^{i-x}$$
$$=\sum _{j=x}^n{C}_j^x{g}_j\sum _{i=0}^{j-x}(-1{)}^i{C}_{j-x}^i\cdot 1^{(j-x)-i}$$
$$=\sum _{j=x}^n{C}_j^x{g}_j[j=x]$$
$$=g_x$$
证毕。

类似的，若 $f_x$ 为至多选 $x$ 个元素的方案数，$g_x$ 为恰好选 $x$ 个元素的方案数。
则有：
$$f_x=\sum _{i=0}^n{C}_x^i{g}_i$$

$$g_x=\sum _{i=0}^x(-1{)}^{x-i}{C}_x^i{f}_i$$
证法类似。

min-max 容斥

感觉换汤不换药。
给出式子：
$$\max (S)=\sum _{T\subset S}(-1{)}^{|T|}\min (T)$$
$$\min (S)=\sum _{T\subset S}(-1{)}^{|T|}\max (T)$$
这里只给出第一个式子的证明，第二个式子的证明较为类似。
考虑最大值 $\max (S)$，它成为最小值产生贡献当且近当 T={max⁡(S)}T=\{\max(S)\}T={max(S)}，显然只会产生一次正贡献。
而对于不是最大值的元素 $x\in S$，设比它大的元素的个数为 $k$，那么它成为最小值产生贡献当且近当 $T$ 为前 $k$ 个元素的某个子集并上 {x}\{x\}{x}，那么它的系数就是：
$$\sum _{i=0}^x\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i}\right)(-1{)}^i$$
二项式反演一下：
$$\sum _{i=0}^x\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i}\right)(-1{)}^i=\sum _{i=0}^x(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})(-1{)}^i(1{)}^{x-i}=(1-1{)}^x=0$$
所以所有不是最大值的元素的贡献都是0。
那么最后西格玛的结果就是 $\max (S)$。

注意：这个式子当最小值不唯一的时候依然成立，$\min (T)$ 的含义就变为了所有并列最小值的和。但是所求的最大值必须唯一！