所谓LGV引理，就是解决LGV问题的引理。

（逃）

前言

上联：古有学完SAM学PAM；
下联：今有学完Polya学LGV；
横批：小清新。

常被用于有向图不交路径计数问题。（废话）
这个东西是真的不太难。（至少这条引理本身，会不会相关有些题很难我不知道）

国赛考它是有考它的道理的，这个东西之前没有见过是真的有可能推出来的。（我是指那些星星一样的神仙们）
相比之下 Polya 恐怕就不太可能现推了。

解析

有一张带权的 DAG。

定义一条路径的权值为所有边权的乘积 $w(P_i)={\prod }_{e\in P_i}w(e)$，一组路径的权值为所有路径权值加和 $w(P)={\sum }_{P_i\in P}w(P_i)$，两个点之间的权值为 $f(i,j)={\sum }_{P_i:i\to j}w(P_i)$

给出 $n$ 个起点 $s_{1...n}$ 和 $n$ 个终点 $t_{1...n}$，定义两两配对形成的路径为一组 $A\to B$ 的路径 $S=(A\to B)$。这样一组路径中每个起点 $i$ 都对应一个终点 $\sigma (i)$，显然 $\sigma$ 是一个 $1-n$ 的排列。
记 $S^c(A\to B)$ 为 $A\to B$ 的相交路径集合，$S^u(A\to B)$ 为 $A\to B$ 的不交路径集合，显然有 $S^u(A\to B)+S^c(A\to B)=S(A\to B)$。

构造矩阵 $A_{i,j}=f(s_i,t_j)$，那么就有：
$$det(A)=\sum _{P\in S^u(A\to B)}\text{sign}(\sigma )\prod _{P_i\in P}w(P_i)$$
规定这么一大堆，引理内容就这一句话。

证明

证明极其小清新！
首先，由行列式的定义，有：
$$det(A)=\sum _{P\in S(A\to B)}\text{sign}(\sigma )\prod _{P_i\in P}w(P_i)$$
接下来只需要证明：
$$\sum _{P\in S^c(A\to B)}\text{sign}(\sigma )\prod _{P_i\in P}w(P_i)=0$$
我们只需要为每一条路径找到一条双射，使它们权值相同，符号相反即可。
也非常好构造，对于一组相交路径，我们只需要找到最小的一对相交路径 $(i,j)$，把它们后面的部分互换即可。
得到的新路径按照这种方式也会映射会原路径，所以这是一个双射。
互换之后权值乘积不变，对应 $\sigma$ 相当于交换了 ${\sigma }_i,{\sigma }_j$，因此逆序对奇偶性改变，符号相反。
证毕。