P5303 [GXOI/GZOI2019]逼死强迫症（斐波拉契、矩阵乘法）

解析

非常妙的一个题，感受到了斐波拉契优美的归纳性质。

首先，不难发现只要两个1*1的位置固定，中间的摆法就固定了，而两边的方案都是经典的斐波拉契数列（设为 $f_i$ ）。
那么枚举中间的间隔再枚举左边的长度，就有：
$ans=2∑i=3n∑j=0n−ifjfn−i−jans=2\sum_{i=3}^n\sum_{j=0}^{n-i}f_jf_{n-i-j}$
乘二是因为对于一种间隔，中间的砖有两种摆法。
转换一下求和顺序：
$ans=2∑i=0n−3fi∑j=0n−3−ifjans=2\sum_{i=0}^{n-3}f_i\sum_{j=0}^{n-3-i}f_j$
然后有一个斐波拉契的经典结论（~~然而我并不会~~）：
$∑i=0nfi=fn+2−1\sum_{i=0}^nf_i=f_{n+2}-1$
证明直接归纳即可。
所以原式就等于：
$2∑i=0n−3fi(fn−1−i−1)=2(∑i=0n−3fifn−1−i−(fn−1−1))=2(∑i=0n−1fifn−1−i+1−2fn−1−fn−2)2\sum_{i=0}^{n-3}f_i(f_{n-1-i}-1)=2(\sum_{i=0}^{n-3}f_if_{n-1-i}-(f_{n-1}-1))=2(\sum_{i=0}^{n-1}f_if_{n-1-i}+1-2f_{n-1}-f_{n-2})$
设 $sn=∑i=0nfifn−is_n=\sum_{i=0}^nf_if_{n-i}$ ，答案就是 $2(s(n-1)+1-2f_{n-1}-f_{n-2})$ 。
再看看 $s_n$ 等于什么：
$sn=∑i=0nfifn−i=fn+fn−1+∑i=0n−2fifn−is_n=\sum_{i=0}^nf_if_{n-i}=f_n+f_{n-1}+\sum_{i=0}^{n-2}f_if_{n-i}$
$=fn+fn−1+∑i=0n−2fi(fn−i−1+fn−i−2)=fn+sn−1+sn−2=f_n+f_{n-1}+\sum_{i=0}^{n-2}f_i(f_{n-i-1}+f_{n-i-2})=f_n+s_{n-1}+s_{n-2}$
（第二步可以拆 $f_{n-i}$ 是因为此时有 $n - i > = 2$ ）
这样，我们就得到了 $s$ 的递推式，也非常优美。
把 $f, s$ 拼在一起构造出转移矩阵，快速幂加速即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
#define ok debug("OK\n")
using namespace std;const int N=4e5+100;
const int mod=1e9+7;
inline ll read(){ll x(0),f(1);char c=getchar();while(!isdigit(c)) {if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)) {x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}return x*f;
}
int n,m;struct matrix{int x,y;ll a[5][5];matrix(int X,int Y){x=X;y=Y;memset(a,0,sizeof(a));}
};
matrix operator * (const matrix &u,const matrix &v){matrix res(u.x,v.y);for(int k=1;k<=u.y;k++){for(int i=1;i<=u.x;i++){ll tmp=u.a[i][k];for(int j=1;j<=v.y;j++){(res.a[i][j]+=tmp*v.a[k][j])%=mod;}}}return res;
}
int trans[5][5]={{},{0,0,1,0,1},{0,1,1,0,1},{0,0,0,0,1},{0,0,0,1,1},
};
matrix I(4,4),o(4,4),ori(1,4);
matrix ksm(matrix x,int k){matrix res=I;while(k){if(k&1) res=res*x;x=x*x;k>>=1;}return res;
}signed main(){#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("a.in","r",stdin);freopen("a.out","w",stdout);#endifint T=read();for(int i=1;i<=4;i++) I.a[i][i]=1;for(int i=1;i<=4;i++){for(int j=1;j<=4;j++) o.a[i][j]=trans[i][j];}ori.a[1][1]=1;ori.a[1][2]=1;ori.a[1][3]=1;ori.a[1][4]=2;while(T--){n=read();if(n<=1) puts("0");else{matrix res=ori*ksm(o,n-2);//printf("%lld %lld %lld %lld\n",res.a[1][1],res.a[1][2],res.a[1][3],res.a[1][4]);printf("%lld\n",(res.a[1][4]+1-(2*res.a[1][2]+res.a[1][1])%mod+mod)*2%mod);}}return 0;
}
/*
1
5 0 0 5.001 5.002
*/