博弈论(b站视频)
文章目录
- 一些概念
- 以Nim游戏为例
- Nim游戏介绍
- 定义 必败/必胜局面
- 必败/必胜局面的判定引理
- Nim游戏判定引理的等价命题
- 有向图游戏
- 对判定引理的数学描述-Sg函数
- 有向图游戏的和
- 题目:
- [有向图游戏]
- [有向图游戏的和]
- [构造/转化类]
一些概念
以Nim游戏为例
Nim游戏介绍
定义 必败/必胜局面
P-position:先手必败
N-position:先手必胜
例如三堆式子的Nim游戏:
必败/必胜局面的判定引理
Nim游戏判定引理的等价命题
为什么直接异或呢?(看图)
有向图游戏
大部分公平组合游戏都可以转换为有向图游戏
单个有向图游戏的胜负可根据判定引理判定
对判定引理的数学描述-Sg函数
mex:最小的不属于这个集合的自然数
sg(x)=mex{sg(y)|x->y}
必败局面:sg(x) = = 0
必胜局面:sg(x) ! = 0
sg函数验证三条判断引理:
SG函数刻画了三条判定引理的性质
有向图游戏的和
G1,G2…Gn是n个有向图游戏
有SG定理:
sg(G) = sg(G1) ^ sg(G2) ^ … ^ sg(Gn)
题目:
[有向图游戏]
DAG图上dfs:sg(x)=mex{sg(y)|x->y},也可以直接用判定引理,复杂度O(N+M),如果N是一两百,可以直接爆搜
找规律(类nim游戏)
P1247 取火柴游戏
P1290 欧几里得的游戏
P1288 取数游戏II
CF917B MADMAX
[有向图游戏的和]
求单个游戏的sg值,xor起来,不能直接使用判断引理,需要求出sg的具体值
sg定理:sg(G)=sg(G1) ^ sg(G2) ^ … ^ sg(Gn)
P2575 高手过招
Acwing 219 剪纸游戏
Acwing 235魔法珠
[构造/转化类]
P1199 三国游戏
Acwing 236.格鲁吉亚和鲍勃