博弈论(基础概念+例题)

博弈论(b站视频)

文章目录

  • 一些概念
  • 以Nim游戏为例
    • Nim游戏介绍
    • 定义 必败/必胜局面
    • 必败/必胜局面的判定引理
    • Nim游戏判定引理的等价命题
  • 有向图游戏
  • 对判定引理的数学描述-Sg函数
  • 有向图游戏的和
  • 题目:
    • [有向图游戏]
    • [有向图游戏的和]
    • [构造/转化类]

一些概念

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以Nim游戏为例

Nim游戏介绍

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定义 必败/必胜局面

P-position:先手必败
N-position:先手必胜

例如三堆式子的Nim游戏:
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必败/必胜局面的判定引理

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Nim游戏判定引理的等价命题

在这里插入图片描述在这里插入图片描述
为什么直接异或呢?(看图)
在这里插入图片描述

有向图游戏

大部分公平组合游戏都可以转换为有向图游戏
单个有向图游戏的胜负可根据判定引理判定

对判定引理的数学描述-Sg函数

mex:最小的不属于这个集合的自然数
sg(x)=mex{sg(y)|x->y}
必败局面:sg(x) = = 0
必胜局面:sg(x) ! = 0
在这里插入图片描述
sg函数验证三条判断引理:
SG函数刻画了三条判定引理的性质
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有向图游戏的和

G1,G2…Gn是n个有向图游戏
有SG定理:
sg(G) = sg(G1) ^ sg(G2) ^ … ^ sg(Gn)
在这里插入图片描述

题目:

[有向图游戏]

DAG图上dfs:sg(x)=mex{sg(y)|x->y},也可以直接用判定引理,复杂度O(N+M),如果N是一两百,可以直接爆搜
找规律(类nim游戏)
P1247 取火柴游戏
P1290 欧几里得的游戏
P1288 取数游戏II
CF917B MADMAX

[有向图游戏的和]

求单个游戏的sg值,xor起来,不能直接使用判断引理,需要求出sg的具体值
sg定理:sg(G)=sg(G1) ^ sg(G2) ^ … ^ sg(Gn)
P2575 高手过招
Acwing 219 剪纸游戏
Acwing 235魔法珠

[构造/转化类]

P1199 三国游戏
Acwing 236.格鲁吉亚和鲍勃

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