因为只有std，没有自我实现，所以是无码专区

主要是为了训练思维能力

solution才是dls正解，但是因为只有潦草几句，所以大部分会有我自己基于正解上面的算法实现过程，可能选择的算法跟std中dls的实现不太一样。

std可能也会带有博主自己的注释。

problem

多组数据，给定 $n,m$，构造一个 $n+m$ 长度的 01 串。

• 包含 $n$ 个 $1$，$m$ 个 $0$。
• 将这个串看成二进制数后能被 $3$ 整除。
• 没有前导零，即高位第一位必须为 $1$。

分别输出字典序最大和最小的符合条件的 01 串。不存在就输出 -1。

$T\le 100,n,m\le 1e5$

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我的想法

observation：二进制相邻两位若都是 $1$，则这两个位代表的 $2$ 的幂的和一定是 $3$ 的倍数。

证明：$2^i+2^{i-1}=(2+1)\cdot 2^{i-1}=3k$。

如果 $n$ 为偶数。

• 字典序最大一定是形如 1111...100...000 。

• 字典序最小第一时间肯定会以为是 00...011..11 ，但是要求不能出现前导零。所以第一位固定为 $1$ 后，其代表的幂次，$2^i$ 取模 $3$ 一定是 $1/2$。

  • 如果取模是 $1$，那么只需要某一位也为 $1$【$2^k\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$】就又可以凑成倍数。形如 100...0010...0111..1111。
  • 如果取模是 $2$，那么只需要第一位也为 $1$就凑成倍数，形如 100..0011..111。

如果 $n$ 为奇数。

• 字典序最大。

  肯定也是前面一堆连续的 $1$，然后最后面的 $3$ 个数的幂次都是取模为 $1$。

  形如 111..10..01..0100...00（最前面的连续 $1$ 段长度肯定也是奇数）。

• 字典序最小。

  首位是 $1$ 没得跑。肯定也是后面一堆连续的 $1$，然后最前面的 $3$ 个数的幂次都是取模为 $1$。

  形如 10...00010...010...011111...11（最后面的连续 $1$ 段长度得是奇数）。

显然，偶数一定是有解的。奇数就不一定了，因为可能 $1$ 个数不够。

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solution

简单的讨论。

如果只有一个 $1$， 或者 $1$ 的个数为奇数， 但 $0$ 的个数不超过 $1$， 那么无解。

• 只有一个 $1$， 显然无解。
• 如果 $1$ 的个数为奇数， $0$ 的个数是 $0$ 个， 那么一定是 1111...111 这样， 无解。
• 如果 $1$ 的个数为奇数， $0$ 的个数是 $1$ 个， 那么相当于 1111...1111 减去一个 $1$， 但是 $1111...1111$ 模三余 $0$， 减去一个 $1$ 之后模三不等于 $0$，所以无解。

如果 $n$ 是偶数， 那么最大值一定是 1111000000 这样， 最小值首先放一个 $1$， 最后放 $n-2$ 个 $1$，剩下的一个 $1$ 用来和 第一个 $1$ 之间放偶数个 $0$ 保证能被 $3$ 整除。

如果 $n$ 是奇数，那么首先放 $n-3$ 个 $1$，这部分能被 $3$ 整除，然后放 10101，然后放若干个 $0$。最小值同理，开头放一个 $1$，末尾放 $n-3$ 个 $1$，中间放 101，保证 1 和 101 中间有奇数个 $0$，这样前半部分也被整除了。

时间复杂度 $O(n)$。

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std

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;string mul(string a, int b) {string c;for (int i = 0; i < b; i++)c += a;return c;
}
string mx, mn;int main() {freopen("binary.in", "r", stdin);freopen("binary.out", "w", stdout);int T;scanf("%d", &T);while (T--) {int n, m;scanf("%d%d", &n, &m);if (n <= 1 || (n % 2 == 1 && m <= 1)) {mx = "-1";mn = "-1";} else {if (n % 2 == 0)mx = mul("1", n) + mul("0", m);elsemx = mul("1", n - 2) + "0101" + mul("0", m - 2);if (n % 2 == 0)mn = "1" + mul("0", m / 2 * 2) + "1" + mul("0", m % 2) + mul("1", n - 2);elsemn = "1" + mul("0", m / 2 * 2 - 1) + "101" + mul("0", m % 2) + mul("1", n - 3);}printf("%s\n%s\n", mx.c_str(), mn.c_str());}
}