所谓拉格朗日乘子法，就是拉格朗日发明的乘子法。

（逃）

前言

曾经，我被它爆杀；如今，不同的日子，同样的题目，我却不再是曾经的我了。
因为我写模拟退火了。

也不能老是这么混着，还是尝试着学一学这个东西吧。

解析

拉格朗日乘子法通常用于解决如下问题：

给出函数 $f(x_{1...n})$ 与限制 $L(x_{1...n})$，在满足限制的前提下求函数极值。

个人感觉直接讲有些抽象，不如直接以我见到两次不会两次的题目为例：

给出序列 $a_{1...n}$，最大化 ${\sum }_i{a}_i\sin {\theta }_i$，使得 $\sum {\theta }_i=2\pi$。

这里的函数 $f$ 就是 ${\sum }_i{a}_i{\theta }_i$，限制 $L$ 就是 $\sum {\theta }_i-2\pi =0$。

那咋做啊？
考虑没有限制怎么做？
那不就是 $\sum a_i$ 嘛。我们来想想它的本质：在类似这样连续可导的函数中，最大值必然意味着 导数为0。

注意！ 反过来并非如此.，导数为0不一定是最大值，甚至不一定是极值。

那么像这样求多元函数极值的本质其实就是求出每个变量 ${\theta }_i$ 的偏导，然后令其均为0。

有限制了怎么办？
考虑构造如下拉格朗日函数：

$$F(x)=f(x)+\lambda L(x)$$
这道题就是：
$$F(x)=\sum a_i\sin {\theta }_i+\lambda (\sum {\theta }_i-2\pi )$$
这有啥用？
我们要求 $\sum {\theta }_i-2\pi =0$，换句话说，其实也就是 $\lambda$ 的偏导数等于0，我们惊喜的发现这个东西和我们本来最大化需要的东西非常一致！而且，由于后面 $\lambda$ 的系数为0了，其对函数结果的实际大小其实是并不会产生影响的。
那么我们求出这个构造函数 $F(x)$ 的极值，其实也就是满足要求下原函数的极值了！
求法还是类似：
对每个参数求偏导，令其等于0并联立：
$$a_i\cos {\theta }_i+\lambda =0$$

$$\sum {\theta }_i-2\pi =0$$
看起来不太可做？我们发现，由于 $\cos \theta$ 在我们需要的定义域上是单调的，所以我们可以二分 $\lambda$ 的值，在验证第二行的等式。