平等博弈

G={L∣R},L=RG=\{L|R\},L=RG={L∣R},L=R，所以一般简写成 G={L}G=\{L\}G={L}。

即在平等博弈中左右手玩家的可操作方法是相同的。

显然 $G+G=0$，因为把当前的游戏复制一份，后手就可以模仿先手的动作，从而后手必胜。

所以 $G=0\text{or}G||0$。

即，公平博弈要么先手必胜要么后手必胜，不区分左右手。

一些数学化的表达与之前的非平等博弈含义一样：

• $G$ 是一个游戏局面。
• $L$ 是左手玩家操作后的可能后继局面。
• $R$ 是右手玩家操作后的可能后继局面。
• $G||0$ 表示先手必胜。
• $G=0$ 表示后手必胜。

nim堆

$\ast n$ 游戏，即石子数为 $n$ 的一个 $\text{nim}$ 堆。

显然有 ∗n={0,∗,∗2,...,∗(n−1)}(n≥1)∣∣0*n=\{0,*,*2,...,*(n-1)\}\ (n\ge 1)||0∗n={0,∗,∗2,...,∗(n−1)} (n≥1)∣∣0。

因为只有一堆，先手直接拿完即可。

SG定理

若 $G$ 是有限状态的公平博弈，G={∗a,∗b,...}G=\{*a,*b,...\}G={∗a,∗b,...} ，则该博弈等价为 $G=\ast n$，其中 $n=\text{mex}(a,b,...)$。

证明：

$G+G=0\iff G=-G\Rightarrow$ 只需要证明 $G=\ast n\iff \ast n-G=0\Rightarrow G+\ast n=0$【看作两个公平博弈游戏的当前局面，一个为 $G$ ，一个为 $n$ 个石子数的 $\text{nim}$ 堆】

即证明这种新博弈游戏是后手必胜的。

考虑先手的操作：

• 如果先手操作 $\ast n$，将其变为 $\ast m(m<n)$，那么后手可以操作 $G$，将 $G$ 变成 $\ast m$。
• 如果先手操作 $G$
  • 将其变为 $\ast m(m<n)$，那么后手也可以将 $\ast n$ 变成 $\ast m$。
  • 将其变为 $\ast m(m>n)$，那么后手也可以把 $\ast m$ 变成 $\ast n$。
• 但先手不能将 $G$ 变为 $\ast n$，因为 $G$ 的后继局面中没有 $\ast n$。

石子数一直在减小所以不会有环的情况，后手一定是有对应先手的操作方法，所以后手必胜。

若 $G$ 是有限状态的公平博弈，G={A,B,C,...}G=\{A,B,C,...\}G={A,B,C,...}，那么存在一个 $n$，使得 $G=\ast n$。

$G$ 这个有限状态的博弈构成了一个 DAG。

那么 DAG 没有出度的点就是 $0\Rightarrow n=0$。

用 归纳法，假设存在 $a,b,c,...$ 使得 $A=\ast a,B=\ast b,C=\ast c,...$。

那么 G={∗a,∗b,∗c,...}=∗nG=\{*a, *b, *c, ...\}=*nG={∗a,∗b,∗c,...}=∗n，其中 $n=\text{mex}(a,b,c,...)$。

说明任意有限状态的公平博弈和 $n$ 个石子的 $\text{nim}$ 堆等价。

nim和

存在一个 $n$ ，使得 $\ast a+\ast b=\ast n$。其中 $n=a\text{xor}b$。

证明：

$n=a\oplus b$【此等号的意思是“记作”，$\oplus$ 就是 nim和 的意思】

G=∗a+∗b={∗a′+∗b,∗b′+∗a}(a′<a,b′<b)G=*a+*b=\{*a'+*b,*b'+*a\}\ (a'<a,b'<b)G=∗a+∗b={∗a′+∗b,∗b′+∗a} (a′<a,b′<b)。

由 SG定理 得 $n=\text{mex}(a^{\prime }\oplus b,b^{\prime }\oplus a)$。

所以只需要证明 $\text{mex}(a^{\prime }\oplus b,b^{\prime }\oplus a)=a\text{xor}b$。

当 $a=b=0$ 时，$0\oplus 0=\text{mex}(\varnothing )=0=0\text{xor}0$【可以理解为初始局面没有一个石子，先手无法操作，所以后手必胜】

用 归纳法，证明 $\text{mex}(a^{\prime }\text{xor}b,a\text{xor}{b}^{\prime })=a\text{xor}b$ 即可。

继续转化为证明 $a\text{xor}b$ 不在集合 {a′xor b,axor b′}\{a'\ \text{xor}\ b,a\ \text{xor}\ b'\}{a′ xor b,a xor b′} 中，且比 $a\text{xor}b$ 小的所有自然数都在集合 {a′xor b,axor b′}\{a'\ \text{xor}\ b,a\ \text{xor}\ b'\}{a′ xor b,a xor b′} 中。

• $a\text{xor}b$ 不在集合中

  ·反证法，假设 ${\exists }_{x<a}x\text{xor}b=a\text{xor}b$。

  则有，$x\text{xor}b\text{xor}b=a\text{xor}b\text{xor}b\Rightarrow x=a$，矛盾。

  假设 ${\exists }_{x<b}x\text{xor}a=a\text{xor}b$ ，同理。

• 比 $a\text{xor}b$ 小的所有自然数都在集合 {a′xor b,axor b′}\{a'\ \text{xor}\ b,a\ \text{xor}\ b'\}{a′ xor b,a xor b′} 中。

  设 ∀x<axor bx∈{a′xor b,axor b′}\forall_{x<a\ \text{xor}\ b}\ x\in\{a'\ \text{xor}\ b,a\ \text{xor}\ b'\}∀x<a xor b​ x∈{a′ xor b,a xor b′}，$y=a\text{xor}b\text{xor}x$。

  考虑将 $a,b,x$ 分别异或上$y$。

  $y$ 最高位的 $1$ 必然来自于 $a/b/x$ 其中一个，也可能是三个都有。

  所以 $a/b/x$ 三个数分别异或 $y$ 后，至少有一个数要变小。

  但是这个数肯定不可能是 $x$，因为 $x\text{xor}y=a\text{xor}b>x$，矛盾。

  不妨设 $a\text{xor}y=b\text{xor}x<a$，那么 $x=b\text{xor}x\text{xor}b\in$ 集合 {a′xor b}\{a'\ \text{xor}\ b\}{a′ xor b}。

  由于 $x$ 的任意性，证毕。

常见的公平博弈模型

bash博弈

$n$ 个物品，每次至少取一个，最多取m个，先取光的胜。

因为一轮总可以两个玩家一起取 $m+1$ 个。

所以如果 $n$ 是 $m+1$ 的倍数，那么后手必能先取光。

否则，先手可以第一次取 $n\%(m+1)$ 个，然后设后手取 $x$ 个，先手第二轮以后就取 $m+1-x$ 个。

当然也可以直接用 SG定理 算。

nim博弈

$n$ 堆石子，每次可以选一堆石子任意拿，最少拿一颗，先取光的胜。

每一堆石子就是 $\ast a_i$，$n$ 堆石子等价于 $1$ 堆石子，个数为这 $n$ 堆石子的异或和。

当且仅当异或和为 $0$ 时后手必胜。

nim-k博弈

$n$ 堆石子，每次可以选最少 $1$ 堆，不超过 $k$ 堆石子，在这些堆石子里面任意拿，每堆最少拿一颗，先取光的胜。

把这 $n$ 堆石子的数量转成二进制，然后在每一位上加起来，如果每一位都是 $k+1$ 的倍数，那么后手胜，否则先手胜。

具体证明因为以前写过，就不再赘述！

可以把 nim-k博弈 认为是一个高维的 nim和。

nim-k博弈 是一个有限状态的公平游戏，所以当然可以由 SG定理 ，化简成 $\ast n$ 的形式。

但是只有是否等于 $0$ 的时候有规律，其他时候 $n$ 的取值没有明显的规律。

所以一般只能定性研究 nim-k博弈，很难研究含有 nim-k博弈 的组合游戏。

由于可以看作是高维的 nim和。所以 $\ast n$ 的游戏都可以在同时操作 $k$ 个游戏的意义下组合起来。

如 bash-k博弈：$n$ 堆石子，每次可以选最少 $1$ 堆，不超过 $k$ 堆石子，在这些堆石子里面任意拿，每堆最少拿一颗，最多拿 $r$ 颗，先取光的胜。

单独来看，每堆石子是一个 bash博弈，游戏的值是 $\ast (a_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r+1))$。

再把这 $n$ 堆石子用 nim-k 的方式组合起来，所以就是把 $a_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r+1)$ 变成二进制，然后每一位加起来，如果每一位都是 $k+1$ 的倍数，则后手赢，否则先手赢。

wythoff博弈

有 $2$ 堆石子，每人每次可以拿走任意一堆中任意数量的石子 或 在两堆石子中拿走相同数量的石子，不能拿的人输。

同样地，wythoff博弈 的值没有明显的规律，只有为 $0$ 的位置 $(x,y)$ 有规律：

$x_i=\text{mex}\{x_j,y_j|j<i\},y_i=x_i+i$。

前几个为 $0$ 的位置：$(0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10)$。【两个位置分别代表一堆的剩余石子数】

以 $(4,7)$ 举例说明，$(0,0)(1,2)(3,5)$ 生成的集合 {0,1,2,3,5}\{0,1,2,3,5\}{0,1,2,3,5} 的 $\text{mex}=4$，这是第三个【从零开始编号】，所以 $+3$。

当不算 $(0,0)$ 时，可以发现 $x_i,y_i$ 就是正整数集的一个分割。

由 betty定理：

设 $\alpha ,\beta$ 为正无理数，且 $\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }=1$。

令 A={⌊αn⌋∣n∈N+},B={⌊βn⌋∣n∈N+}A=\{\lfloor\alpha n\rfloor\Big|n\in N^+\},B=\{\lfloor\beta n\rfloor\Big|n\in N^+\}A={⌊αn⌋∣∣∣​n∈N+},B={⌊βn⌋∣∣∣​n∈N+}，则 $A\bigcap B=\varnothing \wedge A\bigcup B=N^{+}$。

套用 betty定理，$x_i=\lfloor \alpha i\rfloor ,y_i=\lfloor \beta i\rfloor =\lfloor \alpha i\rfloor +i=\lfloor (\alpha +1)i\rfloor$。

解出 $\beta =\alpha +1\Rightarrow \alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

这样就得到了为 $0$ 的位置的通项了，$(\lfloor \frac{1+\sqrt{5}}{2}i\rfloor ,\lfloor \frac{3+\sqrt{5}}{2}i\rfloor )$。

扩展wythoff博弈

有 $2$ 堆石子，每人每次可以拿走任意一堆中任意数量的石子 或 在两堆石子中数量差 $\le k$ 的石子，不能拿的人输。

$x_i=\text{mex}\{x_j,y_j|j<i\},y_i=x_i+(k+1)i$。

仍然是套用 betty定理。

fibonacci博弈

$1$ 堆石子有 $n$ 个，两人轮流取。先取者第 $1$ 次可以取任意多个，但不能全部取完。

以后每次取的石子数不能超过上次取子数的 $2$ 倍，取完者胜。

若 $n$ 是斐波那契数，那么先手必败，否则必胜。

证明：

实际上先手一次取的石子数目一定 $<\frac{1}{3}n$，否则后手可在下一步一次性取完。这将是以下证明的基石。

斐波那契数的情形，首先 $f(1)=2,f(2)=3$ 的情形先手必败。

用 归纳法。【根据斐波那契以及不等式的转化可得出以下关系式】
$$\{\begin{array}{l}f(n)=f(n-1)+f(n-2)\\ f(n-1)<2f(n-2)<f(n)(1)\\ 3f(n-2)>f(n)(2)\\ 4f(n-2)<3f(n+1)(3)\end{array}$$
由 $(2)$ 得先手不能一次取超过 $f(n-2)$ 的石子。

那么基于更小情况的归纳假设可知 $f(n-2)$ 是必败局面。

所以后手可以控制其自己石子与之抗衡，使得后手拿走 $f(n-2)$ 的最后一个石子。

接下来只剩 $f(n-1)$ 个石子了。

基于 $(2)(3)$ 可以知道先手仍然无法一次性拿完 $f(n-1)$。

由归纳假设可得也是后手取到 $f(n-1)$ 这堆石子的最后一颗。

所以先手是必败的。

非斐波那契数的情形，由 Zeckendorf定理，任何正整数可以表示为若干个不连续的斐波那契数之和。

当 $n$ 不是斐波那契数时，$n=f(a_1)+f(a_2)+...f(a_p)(p\ge 1\wedge a_1>a_2>\dots >a_p)$

根据 $(1)$ 先手总能直接拿掉最小的数 $f(a_p)$。后手就会陷入先手必败的情形中。所以先手必胜。

阶梯博弈

相当于奇数阶梯的 $\text{nim}$ 堆的和。

将阶梯倒着排列成一行。发现两个棋子之间的空格数就是阶梯上的石子数。

最高阶只能将石子往下移，所以只能变少，对应地在一行的最左边，当最左边黄棋左移时对应石子下放的操作。

看奇数阶梯是因为，偶数段操作时，虽然短暂性地让后面一段变长，但是另一个人可以相应的操作后一段。而这个可操作距离也是有限的。

也就是说，如果 $G=\ast n$，虽然 $G$ 也能到 $\ast x(x>n)$，但大于 $n$ 的这种 $x$ 的数量是有限的，后手总可以变回去。

green hackenbush

• 链的情形：一条长度为 $n$ 的链相当于一个大小为 $n$ 的 $\text{nim}$ 堆。

• 树的情形

  对连接点而言，就是将连接点的各个子游戏进行 $\text{nim}$ 求和。

  由于子游戏都是 $\ast a$ 形式，所以求和出来的结果就是 $\text{nim}$ 和。

  $\ast :\ast n=\ast (n+1)$

  

• 环的情况

  一个自环相当于一个叶子，任何环内的点都可以融合成一个点，且不会改变游戏的结果。

  所以奇环可以简化为一条边，偶环可以简化为一个点。

  

  

Misère Nim博弈

取走最后一个石子的人算输，其余规则与普通 nim博弈 完全一样。

先手必胜的条件：

• 每堆石子数异或和为 $0$ 且每堆石子只有 $1$ 个。
• 每堆石子数异或和不为 $0$ 且至少有一堆石子的个数 $>1$。

定性分析：

先手必胜的条件

• 游戏和为 $0$ 且单个游戏的 $SG$ 函数 $\le 1$。
• 游戏和不为 $0$ 且至少有一个单一游戏的 $SG$ 函数 $>1$。

定量分析：

若 $G$ 是有限状态的 Misère 的公平博弈，G={∗a,∗b,∗c,...}G=\{*a, *b, *c, ...\}G={∗a,∗b,∗c,...}（$\ast a,\ast b,\ast c$ 这些游戏的规则也都是Misère 的），且存在一个 $\ast x\in G(x<2)$，那么 $G$ 可以化简成 $\ast n$，其中 $n=\text{mex}(a,b,c,...)$。

推论：若 $G$ 可以写成 $\ast n$ 的形式，那么 $G+\ast$ 可以写成 $\ast (n\oplus 1)$ 的形式。

普通的公平博弈：$G=\ast n$ 表示的是 $G+\ast n$ 的组合游戏中，后手必胜。

Misère 的公平博弈：定义函数 $n=s{g}^{-}(G)$，也表示 $G+\ast n$ 的组合游戏中，后手必胜。

$sg-(0)=1$。

设 G={A,B,C,...},sg−(G)=mex(sg−(A),sg−(B),sg−(C),...)G=\{A, B, C, ...\},sg^-(G)=\text{mex}(sg^-(A), sg^-(B), sg^-(C), ...)G={A,B,C,...},sg−(G)=mex(sg−(A),sg−(B),sg−(C),...)。

注意：由于博弈是公平的，所以有 $G=-G$，但 Misère Game 中 $G=-G$ 却推不出 $G+G=0$。

如 {∗2}+{∗2}\{*2\}+\{*2\}{∗2}+{∗2} 是后手必胜。

要注意化简和组合游戏后手必胜的区别。

在普通公平游戏中，两者无区别，在 Misère Game 中，是有区别的。

后手必胜+后手必胜 或 先手必胜+先手必胜 可能是先手必胜也可能是后手必胜。

Every-SG

是一些游戏的组合。玩家对于每个可以操作的游戏都必须要操作，不能操作的人输。

由于每个可以操作的游戏都必须要操作，所以对于每个单个可以赢的游戏都尽可能赢。

但问题的关键是让能赢的游戏尽可能长的玩下去，并且不能赢的游戏尽快输掉。

因为整个游戏是看最后一个谁不能操作，而不是看谁的单一游戏胜利次数更多。

站在先手的角度考虑：先计算每个状态的输赢情况（或者 $SG$ 值是否为 $0$ ）然后计算步数。

• 对 $G=0$ 的游戏 G={A,B,C,...}G=\{A, B, C, ...\}G={A,B,C,...}，先手必败，所以想最快输掉，就计算 step(G)=min⁡{step(A),step(B),step(C),...}+1step(G)=\min\{step(A), step(B), step(C), ...\}+1step(G)=min{step(A),step(B),step(C),...}+1。
• 对 $G>0$ 的游戏 G={A,B,C,...}G=\{A, B, C, ...\}G={A,B,C,...}，先手必胜，所以想拖时间，就计算 step(G)=max⁡{step(A),step(B),step(C),...}+1(A=B=C=...=0)step(G)=\max\{step(A), step(B), step(C), ...\}+1\quad(A=B=C=...=0)step(G)=max{step(A),step(B),step(C),...}+1(A=B=C=...=0)。
• 终止状态的 $step=0$。

Every-SG游戏 中先手必胜当且仅当单个游戏中最大的 $\text{step}$ 值为奇数。

nim积

超现实数的乘法定义：xy={xLy+xyL−xLyL,xRy+xyR−xRyR∣xLy+xyR−xLyR,xRy+xyL−xRyL}xy=\{x_Ly+xy_L-x_Ly_L,x_Ry+xy_R-x_Ry_R\ |\ x_Ly+xy_R-x_Ly_R,x_Ry+xy_L-x_Ry_L\}xy={xL​y+xyL​−xL​yL​,xR​y+xyR​−xR​yR​ ∣ xL​y+xyR​−xL​yR​,xR​y+xyL​−xR​yL​}。

例如 $x-x_L>0,y-y_L>0\Rightarrow (x-x_L)(y-y_L)=xy-x_{L}y-x{y}_L+x_L{y}_L>0\Rightarrow xy>x_{L}y+x{y}_L-x_L{y}_L$

同理可得其余式子。

仿照超现实数乘法的定义，可以形式化地写出 nimber 的乘法定义：

∗a×∗b={∗a’×∗b+∗a×∗b’+∗a’×∗b’}(a’<a,b’<b)*a×*b=\{*a’×*b+*a×*b’+*a’×*b’\}\ (a’<a, b’<b)∗a×∗b={∗a’×∗b+∗a×∗b’+∗a’×∗b’} (a’<a,b’<b)。

【因为平等游戏没有 $L,R$ 区分，所以超现实数的四个式子是一样的，且平等游戏中 $+/-$ 是没有区别的。】

由 SG定理 得，${\exists }_{n=a\otimes b}\ast n=\ast a\times \ast b$。【$\otimes$ 含义是“nim积”】

关于 $n$ 具体的计算，先打个小范围的表：

a\b	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
2	0	2	3	1	8	10	11	9	12	14	15	13	4	6	7	5
3	0	3	1	2	12	15	13	14	4	7	5	6	8	11	9	10
4	0	4	8	12	6	2	14	10	11	15	3	7	13	9	5	1
5	0	5	10	15	2	7	8	13	3	6	9	12	1	4	11	14
6	0	6	11	13	14	8	5	3	7	1	12	10	9	15	2	4
7	0	7	9	14	10	13	3	4	15	8	6	1	5	2	12	11
8	0	8	12	4	11	3	7	15	13	5	1	9	6	14	10	2
9	0	9	14	7	15	6	1	8	5	12	11	2	10	3	4	13
10	0	10	15	5	3	9	12	6	1	11	14	4	2	8	13	7
11	0	11	13	6	7	12	10	1	9	2	4	15	14	5	3	8
12	0	12	4	8	13	1	9	5	6	10	2	14	11	7	15	3
13	0	13	6	1	9	4	15	2	14	3	8	5	7	10	1	12
14	0	14	7	9	5	11	2	12	10	4	13	3	15	1	8	6
15	0	15	5	10	1	14	4	11	2	13	7	8	3	12	6	9

根据表，可以找到几个性质：

• $0\otimes x=0$
• $1\otimes x=x$
• $a\otimes b=b\otimes a$
• $(a\otimes b)\otimes c=a\otimes (b\otimes c)$
• nim积 对 nim和 具有乘法分配律：$a\otimes (b\oplus c)=a\otimes b\oplus a\otimes c$

另外还有一些常见性质：

若 $n=2^{2^n}(n\ge 0)$，即 $n$ 是一个 fermat powers of 2。【$n=2,4,16...$】 则有

• 当 $x<n$ 时，有 $n\otimes x=n\times x$。
• $n\otimes n=\frac{3}{2}n$。
• 当 $a,b<n$ 时，有 $a\otimes b<n$。

因此，对于 $a\otimes b$ 的计算，我们可以将 $a$ 和 $b$ 拆成一些 $2$ 的次幂的 nim和，利用分配律转为计算 $a\prime \otimes b\prime$，其中 $a\prime$ 和 $b\prime$ 都是 $2$ 的次幂。

然后再把 $a\prime$ 和 $b\prime$ 拆成一些 fermat powers of 2 的 $\text{nim}$ 乘积利用结合律计算即可。

例如：$8\otimes 4=2\otimes 4\otimes 4=2\otimes 6=2\otimes (2\oplus 4)=2\otimes 2\oplus 2\otimes 4=3\oplus 8=11$。

定理：对于某个非负整数 $n$，以及 S={x∣x∈N,x<22n}S=\{x|x\in N,x<2^{2^n}\}S={x∣x∈N,x<22n}，$(S,\otimes ,\oplus )$ 构成一个特征为 $2$ 的域。

$n$ 个单位元相加 $=0$，符合这样条件的域称为特征为 $n$ 的域。

而我们比较熟悉的数域单位元是 $1$，无论多少个单位元 $1$ 相加都不可能为 $0$，所以数域是特征为 $0$ 的域。

一般强调特征为 $2$ 的域就是说两个一样的数相加等于 $0$ 的时候，不能直接认为这两个数等于 $0$。

因为在特征为 $2$ 的域上两个单位元相加也是 $0$。

所以可以用类似 karatsuba 的方法来推导 nim积。

设 $a=a_1\otimes P\oplus a_2,b=b_1\otimes P\oplus b_2$，其中 $P$ 是一个 fermat powers of 2。

则 $a\otimes b=a_1\otimes b_1\otimes P\otimes P\oplus a_2\otimes b_2\oplus (a_1\otimes b_2\oplus a_2\otimes b_1)\otimes P$。

因为 $a_1,a_2,b_1,b_2<P$，所以 $a_1\otimes b_2\oplus a_2\otimes b_1<P$。

$P\otimes P=\frac{3}{2}P$，拆成 $\frac{1}{2}+1$。

变为 $a\otimes b=a_1\otimes b_1\otimes (\frac{P}{2})\oplus a_2\otimes b_2\oplus (a_1\otimes b_1\oplus a_1\otimes b_2\oplus a_2\otimes b_1)\times P$。

因为 $a_1\otimes b_2\oplus a_2\otimes b_1=(a_1\otimes a_2)\otimes (b_1\otimes b_2)\oplus a_1\otimes b_1\oplus a_2\otimes b_2$。

所以 $a\otimes b=a_1\otimes b_1\otimes (\frac{P}{2})\oplus a_2\otimes b_2\oplus ((a_1\otimes a_2)\otimes (b_1\otimes b_2)\oplus a_2\otimes b_2)\times P$

$\frac{P}{2}$ 虽然不是一个 fermat powers of 2，但仍然是 $2$ 的幂。

所以递归下去每次只需做 $3$ 次折半乘法，只考虑这部分复杂度是 karatsuba 的复杂度，即 $O((\frac{n}{2}{)}^{lo{g}_2^3})=O(\frac{n^{lo{g}_2^3}}{3})$ 的。

所以 $T(n)=3T(\frac{n}{2})+O(\frac{n^{lo{g}_2^3}}{3})=O(m\ast 3^m)$，其中 $m=\text{log}n$。

最简单的就是记忆化搜索，小范围存一个表。

稍微复杂一点的是，这个域存在原根，$[0,65536)$ 的最小的原根是 $258(2^{2^4}=65536)$。

所以可以打 $[0,65536)$ 范围内的指数、对数表。

这样只用递归一次即可算出 nim积，约等于 $O(1)$ 的复杂度。

∗a×∗b={∗a’×∗b+∗a×∗b’+∗a’×∗b’}(a’<a,b’<b)*a×*b=\{*a’×*b+*a×*b’+*a’×*b’\} (a’<a, b’<b)∗a×∗b={∗a’×∗b+∗a×∗b’+∗a’×∗b’}(a’<a,b’<b) 组合博弈的意义：

考虑一个二维的棋盘，有黑色棋子和白色棋子摆满了棋盘。

每次可以选一个黑色棋子，假设坐标是 $(a,b)$，那么可以任选一个 $(a’,b’)$，翻转 $(a,b),(a’,b’),(a,b’),(a’,b)$ 这四枚棋子的颜色。

不能操作的人输。

如果只有一枚黑色棋子 $(a,b)$，那么这个游戏的值就是 $\ast a\times \ast b$。

如果有很多枚黑色棋子，就是每个棋子分别算 $\ast a_i\times \ast b_i$ 然后再 $\text{nim}$ 加起来。

翻棋子游戏

有 $n$ 枚棋子排成一排，有些棋子是黑色的，有些是白色的。

两个人轮流操作，每次操作将一些 限定的集合 中的棋子颜色反转。

但必须保证反转的棋子的集合中最右边的一枚一开始一定是黑色的。

显然翻棋子游戏是公平的无环的博弈，所以可以用 SG定理 定量算。

对于这一类游戏，有一个定理（不一定是一维的）：

某一个局面的 $SG$ 值，等于局面中每个黑色棋子单一存在时的局面的 $SG$ 值的 $\text{nim}$ 和。

我们可以考虑把翻转的操作当作加一个相同的 $copy$。

因为在 $\text{nim}$ 和的定义下两个相同数的 $\text{nim}$ 和是0，可以发现这两种方式是等价的。

也就是说每个位置的 $SG$ 值是独立的。

游戏的积，tartan定理

如果我们把两个一维的翻棋子游戏 $A$ 和 $B$ 结合到一起，表示所选的行应该遵从翻棋子游戏 $A$ 中的规定，所选的列应该遵从翻棋子游戏 $B$ 中的规定。

那么我们把这个游戏叫做一个 tartan game，用 $A\times B$ 表示。

形式化地讲，如果 A={A1,A2,A3,...},B={B1,B2,B3,...}A=\{A_1, A_2, A_3, ...\},B=\{B_1, B_2, B_3, ...\}A={A1​,A2​,A3​,...},B={B1​,B2​,B3​,...}。

那么 $A\times B=(A,B’)+(A’,B)+(A’,B’)(A’\in A,B’\in B)$

对于 tartan game，有 tartan定理：

若 $A=\ast a,B=\ast b$，那么存在一个 $n$，使得 $A\times B=\ast n$，其中 $n=a\otimes b$。

tartan定理 对更高维的情况也适用。