problem

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solution

从最小一个数 $x$ 开始，将其 $2x,3x$ 放入，再将 $2(2x),3(2x),2(3x),3(3x)$ 放入，以此类推 $\dots$ 将其合并为一个集合。重复又找一个最小未进入集合的数 $x$。

显然答案为若干个互不相交，并集为 $[1,n]$ 的集合答案的乘积。

一个集合里面的数字是相互制约的，不难发现集合大小不超过 ${\log }_{2}n\ast {\log }_{3}n$，大概就是 $17\times 11$。

考虑怎么计算一个独立集合的可选方案数。

很巧妙的是这个限制只有两个（两倍和三倍），在平面内可以构造出一个矩阵。

矩阵中 $(i,j)$ 的右边位置放其数值的三倍，下面位置放其数值的两倍。

1 3 9 ...

2 6 18 ...

4 12 36 ...

那么答案就等价为在矩阵中随机选任意个数，要求数两两不相邻。

矩阵行列数都比较小，可以采取状压 $dp$ 求解。

显然某一行是否合法与矩阵真实长相无关，至于选择的位置有关。

所以提前预处理一行的选择状态，判断是否合法。不合法当且仅当有相邻两列都选了，用 i<<1&i 判断。

之后枚举当前行及操作状态，在合法的基础上，枚举上一行的操作状态，再判断两行之间没有同一列都操作了，用 s&t=0 判断。

能构造矩阵，完全是因为限制一个数的条件只有两个，可以放在二维平面内。这完全就是很投巧的想法。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 1000000001
#define int long long
int N, n, m, ans = 1;
bool vis[100005], g[1 << 20];
int lim[20], a[20][20], f[20][1 << 20];void init( int x ) {for( int i = 1;;i ++ ) {if( i == 1 ) a[i][1] = x;else a[i][1] = a[i - 1][1] << 1;if( a[i][1] > N ) break;else n = i;vis[a[i][1]] = 1;lim[i] = 2;for( int j = 2;;j ++ ) {a[i][j] = a[i][j - 1] * 3;if( a[i][j] > N ) break;else vis[a[i][j]] = 1, lim[i] = 1 << j;}}
}int solve() {for( int i = 0;i < lim[1];i ++ ) f[1][i] = g[i];for( int i = 2;i <= n;i ++ )for( int s = 0;s < lim[i];s ++ ) {if( ! g[s] ) continue;f[i][s] = 0;for( int t = 0;t < lim[i - 1];t ++ )if( g[t] and ! (s & t) )f[i][s] = ( f[i][s] + f[i - 1][t] ) % mod;}int ret = 0;for( int i = 0;i < lim[n];i ++ )ret = ( ret + f[n][i] ) % mod;return ret;
}signed main() {for( int i = 0;i < (1 << 19);i ++ )g[i] = ! (i << 1 & i);scanf( "%lld", &N );for( int i = 1;i <= N;i ++ )if( ! vis[i] ) init( i ), ans = ans * solve() % mod;printf( "%lld\n", ans );return 0;
}