设随机化一次的正确率为 $p$，一次的复杂度为 $O(f(n))$。则随机的期望次数 $k$：
$$\begin{gathered} k=\sum _{i=1}^{\infty }p(1-p{)}^{i-1}i(1) \\ (1-p)k=\sum _{i=1}^{\infty }p(1-p{)}^{i}i=\sum _{i=2}^{\infty }p(1-p{)}^{i-1}(i-1)(2) \\ (1)-(2)\Rightarrow p\cdot k=p+\sum _{i=2}^{\infty }p(1-p{)}^{i-1}\Rightarrow k=1+\sum _{i=2}^{\infty }(1-p{)}^{i-1}=\sum _{i=0}^{\infty }(1-p{)}^i \end{gathered}$$
由等比公式得： $k={\sum }_{i=0}^{\infty }(1-p{)}^i=\frac{1-(1-p{)}^{\infty }}{1-(1-p)}=\frac{1}{p}$。

综上随机算法求解的期望复杂度为 $O(p^{-1}f(n))$。

CodeChef-Milestones

problem

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solution

因为最多只有七条直线就可以覆盖所有点，可以推出 覆盖点最多的直线至少覆盖 $\lceil \frac{n}{7}\rceil$ 个点。

也就是说，两个点属于同一直线的概率为 $\frac{1}{7}$。

期望来说，$7$ 次随机化点就可以通过了，但是保险起见，可以运行 $1000$ 次。

时间复杂度 $O(Tnk)$，超了但是跑得很快》》o_o …

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 10005
int T, n;
double x[maxn], y[maxn];int main() {scanf( "%d", &T );while( T -- ) {scanf( "%d", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lf %lf", &x[i], &y[i] );mt19937 wwl(time(0));uniform_int_distribution < int > range( 1, n );int ans = 0;for( int t = 1;t <= 1000;t ++ ) {int a = range( wwl ), b = range( wwl );int cnt = 0;if( x[a] == x[b] ) {for( int i = 1;i <= n;i ++ )if( x[i] == x[a] ) cnt ++;}else {cnt = 1;double k = ( y[a] - y[b] ) / ( x[a] - x[b] );for( int i = 1;i <= n;i ++ )if( x[i] != x[a] and ( y[i] - y[a] ) / ( x[i] - x[a] ) == k ) cnt ++;}ans = max( ans, cnt );}printf( "%d\n", ans );}return 0;
}

CF364D-Ghd

problem

题目链接

solution

贪心地，$|S^{\prime }|$ 选出的子集大小应该恰好为 $\lceil \frac{n}{2}\rceil$，因为选择的数越多，$\gcd$ 只会受到更多限制变小而不会变大。

那么每个数都是 $\frac{1}{2}$ 的概率会属于最后答案子集。

随机化 $10$ 次，正确率 $1-(1-\frac{1}{2}{)}^{10}$ 已经很优秀了。

随机化出一个数 $a_x$ 假设其属于最后答案子集。

先求出 $a_x$ 的所有因子数，最后的答案肯定是 $a_x$ 的因子。用桶 $cn{t}_p$ 记录下来。

再求出与 $a_i$ 的 $\gcd$，枚举 $\gcd$ 的因子数，找到因子所在的桶，$cn{t}_p++$。

最后进行桶的合并，如果桶 $p$ 代表的因子是桶 $q$ 代表的因子倍数，则有 $cn{t}_q+=cn{t}_p$。

$1e12$ 内因子数最多的不超过 $6800$ 个。

单次时间复杂度，假设 $\delta (n)$ 为 $n$ 的因子个数，$O(\sqrt{a_x}+\delta (n{)}^2+n\log n)$。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define maxn 1000005
int n, ans, tot;
int a[maxn], d[maxn], cnt[maxn];int gcd( int x, int y ) {if( ! y ) return x;else return gcd( y, x % y );
}void divide( int x ) {tot = 0;for( int i = 1;i * i <= x;i ++ )if( x % i == 0 ) {d[++ tot] = i;if( i * i != x ) d[++ tot] = x / i;}sort( d + 1, d + tot + 1 );
}void solve( int x ) {divide( x );for( int i = 1;i <= tot;i ++ ) cnt[i] = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {int g = gcd( x, a[i] );int pos = lower_bound( d + 1, d + tot + 1, g ) - d;cnt[pos] ++;}for( int i = 1;i <= tot;i ++ )for( int j = i + 1;j <= tot;j ++ )if( d[j] % d[i] == 0 ) cnt[i] += cnt[j];for( int i = tot;i;i -- ) {if( d[i] <= ans ) break;if( cnt[i] >= ( n + 1 >> 1 ) ) ans = max( ans, d[i] );}
}signed main() {scanf( "%lld", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] );mt19937 wwl(time(0));uniform_int_distribution < int > range( 1, n );for( int t = 1;t <= 10;t ++ ) {int x = range( wwl );solve( a[x] );}printf( "%lld\n", ans );return 0;
}