problem

AtCoder

solution

注意：本题不是平等博弈，因为先手只能取最左边，后手只能取最右边。

设 $f[l][r][k]:$ 只剩下区间 $[l,r]$ 等待操作，第 $l$ 堆石子数量为 $k$ 的时候，先手是否必胜。

同理，$g[l][r][k]:$ 只剩下区间 $[l,r]$ 等待操作，第 $r$ 堆石子数量为 $k$ 的时候，后手是否必胜。

显然，如果 $f/g[l][r][k]$ 可以必胜，那么 $f/g[l][r][k+1]$ 也能必胜，无非是有次操作多取一颗石子。

所以不妨设 $f[l][r]:$ 只剩下区间 $[l,r]$ 操作，先手必胜时第 $l$ 堆石子数量至少为多少。

同理可得，$g[l][r]:$ 只剩下区间 $[l,r]$ 操作，后手必胜时第 $r$ 堆石子数量至少为多少。

接下来考虑转移，转移都只与 $f[l][r-1],g[l+1][r]$ 有关。

• $f[l][r]$

  • 若 $g[l+1][r]>a[r]$。

    那么先手可以直接取完 $l$ 堆，使得后手面临 $[l+1,r]$ 的必败局面。

    因此只需要保证 $l$ 堆有石子就行了。

    $f[l][r]=1$

  • 若 $g[l+1][r]\le a[r]$

    那么先手肯定不能一次取完使后手处于必胜局面。只能一个一个地取。

    我们知道至少取 $f[l][r]-f[l][r-1]+1$ 个石子后，先手就会因接下来后手的操作陷入必败状态。

    因为此时 $l$ 堆石子个数 $<f[l][r-1]$，后手直接取完 $r$ 堆，留给先手的就是 $[l,r-1]$ 的必败状态了。

    而后手则至少取 $a[r]-g[l+1][r]+1$ 个就会陷入必败状态。原因同上。也就是说后手也不敢一次取完，只能一个一个地取。

    此时想要先手获胜，必须先手更晚进入必败状态。

    即 $f[l][r]-f[l][r-1]+1>a[r]-g[l+1][r]+1$

    $\Rightarrow f[l][r]>a[r]-g[l+1][r]+f[l][r-1]$。

    $f[l][r]=a[r]-g[l+1][r]+f[l][r-1]+1$

• $g[l][r]$

  • 若 $f[l][r-1]>a[l]$。

    那么后手可以直接取完 $r$ 堆，使得先手面临 $[l,r-1]$ 的必败局面。

    因此只需要保证 $r$ 堆有石子就行了。

    $g[l][r]=1$

  • 若 $f[l][r-1]\le a[l]$

    那么后手肯定不能一次取完使先手处于必胜局面。只能一个一个地取。

    后手至少取 $g[l][r]-g[l+1][r]+1$ 个就会陷入必败状态。

    先手至少取 $a[l]-f[l][r-1]+1$ 个就会陷入必败状态。

    此时必须后手更晚进入必败状态。

    即 $g[l][r]-g[l+1][r]+1>a[l]-f[l][r-1]+1$

    $\Rightarrow g[l][r]>a[l]+g[l+1][r]-f[l][r-1]$。

    $g[l][r]=a[l]+g[l+1][r]-f[l][r-1]+1$

区间 $dp$ 转移即可，时间复杂度 $O(n^2)$。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 105
#define int long long
int T, n;
int a[maxn];
int f[maxn][maxn], g[maxn][maxn];signed main() {scanf( "%lld", &T );while( T -- ) {memset( f, 0, sizeof( f ) );memset( g, 0, sizeof( g ) );scanf( "%lld", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] );for( int len = 2;len <= n;len ++ )for( int l = 1;l <= n;l ++ ) {int r = l + len - 1;if( r > n ) break;if( g[l + 1][r] > a[r] ) f[l][r] = 1;else f[l][r] = a[r] + f[l][r - 1] - g[l + 1][r] + 1;if( f[l][r - 1] > a[l] ) g[l][r] = 1;else g[l][r] = a[l] + g[l + 1][r] - f[l][r - 1] + 1;}if( f[1][n] <= a[1] ) printf( "First\n" );else printf( "Second\n" );}return 0;
}