分析数学笔记

文章目录

- - - 夹逼收敛定理(P45):
    - 单调收敛定理(P50):
    - 闭区间套定理(P56)：
    - 有限覆盖定理(P59)：
    - 可数集(P62)：
    - 聚点(P62)：
    - 聚点原理(P62)：
    - 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理(P64)
    - 柯西序列&柯西收敛准则(P65)
    - 压缩映照原理(P67)
    - 上下极限判定(P70)
    - 定理2.5.2(P72)
    - 上下极限的保序性（P74）
    - 施笃兹定理（P80）
    - 定理3.1.7（函数极限与序列极限）(P96)
    - 极限存在性定理(P97)
    - - 定理3.1.8
      - 柯西收敛准则（P98）
    - 两个重要极限（P99）
    - 函数连续与间断的定义(P103)
    - 间断点分类（P105）
    - 连续函数的性质(P108)

谢邀，已经学不明白了。

感觉这是一门严谨的学科，可以用一些看起来很显然的结论“踏实”地推出一些非常神秘的结论。
相比于重结论轻证明的OI是有很大差异的。
~~性感理解，显然~~

定理和概念好多啊，脑子内存不够了。
这里当个备忘录吧，想不起来就看看。
只写一些感觉需要写的吧（~~似乎是废话~~）
~~随时可能会鸽~~

夹逼收敛定理(P45):

若 $lim⁡an=lim⁡bn=w,∃N0→∀n>N0,an≤cn≤bn\lim a_n=\lim b_n=w,\exists N_0\to \forall n>N_0,a_n\le c_n\le b_n$ ，那么就有 $lim c_n=w$ 。

感觉很难想到这个。

单调收敛定理(P50):

单调有界序列必收敛。

太常用了。

闭区间套定理(P56)：

设 ${[a_n,b_n]\}$ 为一列闭区间，且满足：
1. $[an,bn]⊇[an+1,bn+1],n=1,2,...[a_n,b_n]\supseteq [a_{n+1},b_{n+1}],n=1,2,...$
2. $lim(b_n-a_n)= 0$
则存在唯一 $c∈Rc\in \R$ ，使得 $∩n∞[an,bn]=c\cap_n^{\infty}[a_n,b_n]=c$

注意必须是闭区间。

有限覆盖定理(P59)：

如果 ${Eλ},λ∈Λ\{E_\lambda\},\lambda\in \Lambda$ 是 $[a, b]$ 的一个开覆盖，那么其必存在一个子集是 $[a, b]$ 的有限覆盖。

覆盖需要是开的，区间必须是闭的。

可数集(P62)：

若一个数集 $E$ 只有有限个元素或可以将它的所有元素排成一个序列，则称其为一个可数集。

聚点(P62)：

对于一个实数集 $E$ ，若对于 $x∈Rx\in\R$ ， $∀δ>0,U0(x,δ)∩E≠∅\forall \delta>0,U_0(x,\delta)\cap E\not= \emptyset$ ，则称 $x$ 是 $E$ 的一个聚点。如果 $E$ 的一个元素 $y$ 不是 $E$ 的聚点，则称之为 $E$ 的孤立点。

$x$ 是 $E$ 的聚点和以下命题等价：

$∀δ>0\forall \delta>0$ ， $U(x,δ)U(x,\delta)$ 中有 $E$ 的无穷多个点。
存在一个不重序列 ${yn}⊆E\{y_n\}\subseteq E$ ， $lim y_n=x$

聚点原理(P62)：

有界无穷集合 $E$ 必然存在至少一个聚点。(P62)

这个感觉就不是很显然了。
可以用有限覆盖定理或闭区间套定理证明。

波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理(P64)

有界序列必存在收敛的子序列。

可以用聚点定理证明。

柯西序列&柯西收敛准则(P65)

对于一个序列 ${x_n\}$ ，如果 $∀ε>0,∃N,∀n,m>N,∣xn−xm∣<ε\forall \varepsilon>0,\exists N,\forall n,m>N,|x_n-x_m|<\varepsilon$ ，那么就称其为一个柯西序列。
一个序列收敛的充要条件是它是一个柯西序列。

必要性显然，充分性用到了波魏定理。

压缩映照原理(P67)

设 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有定义， $f([a,b])⊂[a,b]f([a,b])\sub [a,b]$ ，且满足 $∣f(x)−f(y)∣≤q∣x−y∣,q∈(0,1),x,y∈[a,b]|f(x)-f(y)|\le q|x-y|,q\in (0,1),x,y\in [a,b]$ ，那么就存在唯一的 $c∈[a,b]c\in [a,b]$ ，使得 $f (c) = c$ 。

存在性可以通过构造一个 $x_{n+1}=f(x_n)$ 然后通过柯西收敛准则证明，唯一性显然。

上下极限判定(P70)

以下三个命题等价：

$h$ 是 ${x_n\}$ 的上极限。
$∀ε>0,∃N,n>N\forall \varepsilon>0,\exists N,n>N$ 时， $xn<h+εx_n< h+\varepsilon$ ； $∀K,∃nK>K,xnK>h−ε\forall K,\exists n_K>K,x_{n_K}>h-\varepsilon$ 。
存在 ${x_n\}$ 的一个子序列 ${x_{n_k}\}$ ，使得 $lim \{x_{n_k}\}=h$ ，且对于任意子序列 ${x_{n_k}\}$ ，有 $lim⁡{xnk}≤h\lim \{x_{n_k}\}\le h$ 。

证明思路：1推2，2推3，3推1，都不太难。
下极限相应同理。

定理2.5.2(P72)

若有界序列 ${x_n\}$ 由互不相同的数组成，则其上极限 $lim⁡‾n→∞{xn}\overline{\lim}_{n\to \infty}\{x_n\}$ 为其最大的聚点，下极限 $lim⁡‾n→∞xn\underline{\lim}_{n\to \infty}x_n$ 为其最小的聚点。
若 ${x_{n_k}\}$ 为 ${x_n\}$ 的一个子序列，则有： $lim⁡‾xn≤lim⁡‾xnk≤lim⁡‾xnk≤lim⁡‾xn\underline{\lim}x_n\le \underline{\lim}x_{n_k}\le \overline{\lim}x_{n_k}\le\overline{\lim}x_{n}$
$lim x_n=a$ 的充要条件是 $lim⁡‾xn=lim⁡‾xn=a\underline{\lim}x_n=\overline{\lim}x_n=a$ 。

第三条是我看到上下极限时最先想到的这个概念“存在的意义”。

上下极限的保序性（P74）

$xn≤yn,n=1,2,3,...x_n\le y_n,n=1,2,3,...$ ，那么就有 $lim⁡‾xn≤lim⁡‾yn,lim⁡‾xn≤lim⁡‾yn\underline {\lim }x_n\le \underline{\lim } y_n,\overline {\lim }x_n\le \overline{\lim } y_n$ 。
$lim⁡‾(−xn)=−lim⁡‾xn,lim⁡‾(−xn)=−lim⁡‾xn\underline{\lim}(-x_n)=-\overline{\lim}x_n,\overline{\lim}(-x_n)=-\underline{\lim}x_n$ 。
$lim⁡‾xn+lim⁡‾yn≤lim⁡‾(xn+yn)≤lim⁡‾xn+lim⁡‾yn≤lim⁡‾(xn+yn)≤lim⁡‾xn+lim⁡‾yn\underline{\lim}x_n+\underline{\lim}y_n\le \underline{\lim}(x_n+y_n)\le \underline{\lim}x_n+\overline{\lim}y_n\le \overline{\lim}(x_n+y_n)\le\overline{\lim}x_n+\overline{\lim}y_n$
$lim⁡‾xn⋅lim⁡‾yn≤lim⁡‾(xn⋅yn)≤lim⁡‾xn⋅lim⁡‾yn≤lim⁡‾(xn⋅yn)≤lim⁡‾xn⋅lim⁡‾yn\underline{\lim}x_n\cdot \underline{\lim}y_n\le \underline{\lim}(x_n\cdot y_n)\le \underline{\lim}x_n\cdot \overline{\lim}y_n\le \overline{\lim}(x_n\cdot y_n)\le\overline{\lim}x_n\cdot \overline{\lim}y_n$

施笃兹定理（P80）

若 ${b_n\}$ 为一个严格递增且趋近于正无穷的序列，且 $lim⁡an−an−1bn−bn−1=A\lim\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b{n-1}}=A$ ，就有 $lim⁡anbn=A\lim \frac{a_n}{b_n}=A$ 。

其中 $A$ 可以为正负无穷或有界实数。

定理3.1.7（函数极限与序列极限）(P96)

若函数 $f (x)$ 在 $U0(x0,δ0)U_0(x_0,\delta_0)$ 上有定义，那么 $lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x\to x_0} f(x)=A$ 的充要条件为：对于任意 $U0(x0,δ0)U_0(x_0,\delta_0)$ 的序列 ${x_n\}$ ， $lim⁡n→+∞xn=x0\lim _{n\to +\infty}x_n=x_0$ ，有 $lim⁡n→+∞f(xn)=A\lim_{n\to+\infty}f(x_n)=A$ 。

用途举例：证明 $f(x)=sin⁡1xf(x)=\sin\frac 1 x$ 无极限。

极限存在性定理(P97)

如果一个函数单调，那么它必存在单侧广义极限。

定理3.1.8

若 $f (x)$ 在 $U0+(x0,δ0)U_0^+(x_0,\delta_0)$ 有定义且单调上升，则有 $lim⁡x→x0+0=inf⁡{f(x):x∈U0+(x0,δ0)}\lim_{x\to x_0+0}=\inf\{f(x):x\in U_0^+(x_0,\delta_0)\}$ 。
若 $f (x)$ 在 $U0+(x0,δ0)U_0^+(x_0,\delta_0)$ 有定义且单调下降，则有 $lim⁡x→x0+0=sup⁡{f(x):x∈U0+(x0,δ0)}\lim_{x\to x_0+0}=\sup\{f(x):x\in U_0^+(x_0,\delta_0)\}$ 。

柯西收敛准则（P98）

若 $f (x)$ 在 $U0(x0,δ0)U_0(x_0,\delta_0)$ 有定义，那么 $lim⁡x→x0f(x)\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在的充要条件为： $∀ε>0\forall \varepsilon>0$ ， $∃δ>0\exists \delta>0$ ，使得 $∀x′,x′′∈U0(x0,δ),∣f(x′)−f(x′′)∣<ε\forall x',x''\in U_0(x_0,\delta),|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$ 。

和序列的柯西收敛准则基本是一个东西。

两个重要极限（P99）

$lim⁡x→0xsin⁡x=1\lim_{x\to 0}\frac {x} {\sin x}=1$ 。
$lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x\to \infty}(1+\frac 1 x)^x=e$ 。

函数连续与间断的定义(P103)

设 $f (x)$ 在 $U(x0,δ)U(x_0,\delta)$ 有定义，若 $lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ ，则称 $f (x)$ 在 $x_0$ 连续，且 $x_0$ 为 $f (x)$ 的一个连续点；否则称 $f (x)$ 在 $x_0$ 间断，且 $x_0$ 为 $f (x)$ 的一个间断点。

间断点分类（P105）

设 $x_0$ 为 $f (x)$ 的间断点。

若 $f(x_0+0)$ 与 $f(x_0-0)$ 都存在，此时称 $x_0$ 为 $f (x)$ 的第一类间断点。此时，若 $f(x0+0)=f(x0−0)≠f(x0)f(x_0+0)=f(x_0-0)\ne f(x_0)$ ，称其为可去间断点，否则称其为 跳跃间断点。
若 $f(x_0+0)$ 与 $f(x_0-0)$ 至少有一个不存在，则称其为 $f (x)$ 的第二类间断点。