CodeForces 1616H Keep XOR Low

problem

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solution

虽然选的是一个子集，但本质还是二元限制。

这非常类似以前做过的题目，已知 $a_i,k$，求满足 $a_i\oplus a_j\le k$ 的 $a_j$ 个数。

这是一元限制，常见解法是在 $\text{trie}$ 树上统计。 紧贴 的思想。

具体而言，就像数位 $dp$ 一样，贴着 $x$ 二进制位的要求走，如果 $d$ 位为 $1$，那么直接统计 $\text{trie}$ 树该位 $0$ 子树的个数，然后继续往 $1$ 那边走。

我们考虑采用同样的方法来解决本题。只不过此时的 $a_i$ 同样未知。

直接设计 $dfs(x,y,d):$ 目前在 $d$ 二进制位，从 $x,y$ 子树中选取子集，仅考虑 $x-y$ 间限制的方案数，且前 $d$ 位都是紧贴的。

首先得从高到低考虑二进制位。初始调用函数 $dfs(1,1,30)$。（插入以及统计子树内个数就略过了）

• $x=y$。

  • $k$ 的 $d$ 位为 $1$。

    直接返回 $dfs(lson[x],rson[x],d-1)$。

  • $k$ 的 $d$ 位为 $0$。

    返回 $dfs(lson[x],lson[x],d-1)+dfs(rson[x],rson[y],d-1)$。

    这里不能乘法乱来，否则就会包含 $x$ 左右儿子组合等等，这些异或在该位可是 $1$，超过了 $k$ 限制。

• $x\ne y$。

  • $k$ 的 $d$ 位为 $1$。

    返回 $dfs(lson[x],rson[y],d-1)\ast dfs(rson[x],lson[y],d-1)$。

    实际上应该是两边都要 $+1$ 再乘，表示仅从 $x,y$ 的各一个儿子中选取的方案数，直接乘就是要求 $x,y$ 左右儿子中都要选择了。

    最后还要 $-1$，减去两边没一个选的空集。

    这个乘法就包含了 $x$ 左右儿子组合，$y$ 左右儿子组合，$x,y$ 左/右儿子组合等等的可能。

    这些组合在这一位的异或都是 $0$，都是松弛在限制下面的。

  • $k$ 的 $d$ 位为 $0$。

    返回 $dfs(lson[x],lson[y],d-1)+dfs(rson[x],rson[y],d-1)$。

    但这里没有考虑到只选 $x$ 内部的左右子树和只选 $y$ 内部的左右子树的情况。

    直接加上 $(2^{siz[lson[x]]}-1)(2^{siz[rson[x]]}-1)+(2^{siz[lson[y]]}-1)(2^{siz[rson[y]]}-1)$。

    为什么这里可以直接乘了，而不是继续 $dfs$ 下去呢？

    注意到如果 $x\ne y$，那么之前必定是有一个更高位使得他们分叉。

    而分叉的条件都是那个更高位上的 $k$ 是 $1$。

    所以这里可以直接 $x/y$ 子树内部各自乱选，反正异或起来至少在那个较高位都是 $0$。

    一定是被限制松弛的方案数。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define mod 998244353
#define maxn 150005
int n, m, root, cnt;
int a[maxn], mi[maxn], l[maxn * 30], r[maxn * 30], siz[maxn * 30];void insert( int &now, int d, int x ) {if( ! now ) now = ++ cnt;siz[now] ++;if( ! ~ d ) return;if( x >> d & 1 ) insert( r[now], d - 1, x );else insert( l[now], d - 1, x );
}int dfs( int x, int y, int d ) {//-1是减去空集的情况数if( ! x ) return mi[siz[y]] - 1;if( ! y ) return mi[siz[x]] - 1;if( x == y ) {if( ! ~ d ) return mi[siz[x]] - 1;else if( m >> d & 1 ) return dfs( l[x], r[x], d - 1 );else return ( dfs( l[x], l[x], d - 1 ) + dfs( r[x], r[x], d - 1 ) ) % mod;}else {if( ! ~ d ) return mi[siz[x]] * mi[siz[y]] % mod - 1;//+1乘是有可能不选这个子树中的子集else if( m >> d & 1 ) return ( dfs( l[x], r[y], d - 1 ) + 1 ) * ( dfs( r[x], l[y], d - 1 ) + 1 ) % mod - 1;else {int ans = ( dfs( l[x], l[y], d - 1 ) + dfs( r[x], r[y], d - 1 ) ) % mod;( ans += ( mi[siz[l[x]]] - 1 ) * ( mi[siz[r[x]]] - 1 ) % mod ) %= mod;( ans += ( mi[siz[l[y]]] - 1 ) * ( mi[siz[r[y]]] - 1 ) % mod ) %= mod;//这种情况计数是左右子树一定都选了的return ans;}}
}signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &m ); mi[0] = 1;for( int i = 1, x;i <= n;i ++ ) {scanf( "%lld", &x ), insert( root, 30, x );mi[i] = ( mi[i - 1] << 1 ) % mod;}printf( "%lld\n", ( dfs( root, root, 30 ) + mod ) % mod );return 0;
}

还有一道类似的题目，只不过限制变为了 $a_i\oplus a_j\ge k$。但做法就完全不一样了。

CodeForces gym102331 Bitwise Xor

problem

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solution

一堆数按从高到低二进制考虑，按第 $w$ 位分为 $0/1$ 两个集合，第 $w$ 位产生贡献肯定是两个数隶属不同的集合。

如此递归分层下去，我们发现：从小到大排序后只用考虑相邻两个数是否满足限制。

上述结论有一个数学化的表达：$a<b<c\Rightarrow \min (a\oplus b,b\oplus c)\le a\oplus c$。

可以大概理解为数相差越大，二进制位的高位越有可能异或为 $1$，异或结果越有可能更大。

因此可以将 $a$ 从小到大排序，设 $f_i:a_i$ 结尾的序列的方案数。

转移利用 $\text{trie}$ 树的紧贴思想去求与 $a_i$ 异或 $\ge x$ 的 $a_j$ 对应的方案数。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define mod 998244353
#define maxn 300005
int n, m;
int a[maxn], cnt;
int trie[maxn * 65][2], sum[maxn * 65];void insert( int x, int val ) {for( int i = 60, now = 0;~ i;i -- ) {int k = x >> i & 1;if( ! trie[now][k] ) trie[now][k] = ++ cnt;now = trie[now][k];( sum[now] += val ) %= mod;}
}int query( int x ) {int ans = 0, now = 0;for( int i = 60;~ i;i -- ) {int k = x >> i & 1;if( m >> i & 1 ) now = trie[now][k ^ 1];else ( ans += sum[trie[now][k ^ 1]] ) %= mod, now = trie[now][k];if( ! now ) break; //很有可能这个数比之大的不存在 那么now就会回到0 如果继续走下去就岔了}return ( ans + sum[now] ) % mod;
}signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &m );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] );sort( a + 1, a + n + 1 );int ans = 0; //f[i]=1+\sum_{j,a_i^a_j>=m}f[j]for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {int val = query( a[i] ) + 1; //+1是自己单独一个的方案ans = ( ans + val ) % mod;insert( a[i], val );}printf( "%lld\n", ans );return 0;
}