problem

将正整数 $1\sim n$ 任意划分成 $m$ 个非空集合 $A_1,...,A_m$。

一个划分是守序的，当且仅当存在一个环排列 $(p_1,...,p_m)$，使得 $\max A_{p_i}>\min A_{p_{i-1}}$。$p_0=p_m$。

两个划分本质不同，当且仅当存在两个数在一个划分中属于同一个集合，而在另一个划分成属于不同集合。

求本质不同的守序划分方案数，对 998244353 取模。

$n,m\le 500$。

solution

守序的判定可以转化为：不存在一个 $i$，使得 $1\sim i$ 各自隶属集合的集合 $S\bigcap$ $i+1\sim n$ 各自隶属集合的集合 $T=\varnothing$。

简单证明一下：不管圆排列是怎样的，$T$ 里面的集合最小值最大值都是 $\ge i+1$，而 $S$ 里面的集合最小值最大值都是 $\le i$ 的，而圆排列至少会让一个属于 $S$ 的集合在一个属于 $T$ 的集合后一个位置，那么这个时候一定无法满足条件。

设 $f(i,j,k):$ 考虑前 $i$ 个数，一共划分成了 $j$ 个集合，其中有 $k$ 个集合还未封闭。区间封闭代表这已经生成了一个集合，之后不会再加数了。

则除了 $i=n$ 时，其余时候是不能 $k=0$ 的。考虑转移到 $f(i,j,k)$ 的几种情况。

• 新增一个封闭区间。$f(i-1,j-1,k)$。
• 新增一个未封闭区间。$f(i-1,j-1,k-1)$。
• 随便加入一个未封闭区间后仍处于未封闭状态。$f(i-1,j,k)\times k$。
• 随便加入一个未封闭区间后使之封闭。$f(i-1,j,k+1)\times (k+1)$。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 998244353
#define maxn 505
int dp[maxn][maxn][maxn];
int n, m;signed main() {scanf( "%d %d", &n, &m );dp[0][0][0] = 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ )for( int j = 1;j <= m;j ++ )for( int k = ( i != n );k <= j;k ++ ) //在n之前是不能让集合出现全都封闭的情况dp[i][j][k] = ( 1ll * dp[i - 1][j - 1][k] + 1ll * dp[i - 1][j - 1][max( 0, k - 1 )] + 1ll * dp[i - 1][j][k + 1] * ( k + 1 ) + 1ll * dp[i - 1][j][k] * k ) % mod;//新开一个封闭集合 / 自己单独为一个集合//新开一个不封闭的集合等待后续的加入//随便加入一个不封闭的集合使之封闭//随便加入一个不封闭的集合等待后续加入printf( "%d\n", dp[n][m][0] );return 0;
}