problem

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solution

看到这个 $20\%$ 的特殊性质，脑海里第一个就想到了随机化算法。已经PTSD了着实上头

如果本题只是随便求一个 $\text{interesting}$ 的点，那就非常简单了。

随机化一个点，检查这个点是否满足 $\text{interesting}$ 的限制即可。

如果判断一个点是否是 $\text{interesting}$ 的点？以该点为根建立 dfs-tree。如果只有树边和返祖边，没有一条横叉边，那么这个点就是“有趣点”。

一次判断的复杂度是 $O(n)$ 的。

执行 $\min (100,n)$ 次，正确率就高达 $1-(\frac{4}{5}{)}^{100}$。

虽然很简单，但是本题的正解就是建立在这种随机的基础上的。

我们不能求出所有点，但是可以快速通过随机求出一个 $\text{interesting}$ 点，记为 $id$。

以 $id$ 为根，建立 dfs-tree ，那么这棵树是没有横叉边的。

考虑能否在这棵树上求出所有的 $\text{interesting}$ 点。

显然是可以的，需要用到几个小性质。

定理1 树上一个非根节点 $u$ 的子树内至少会有一条连向子树外的边（跨过 $u$），即返祖边。

这是显然的，因为题目保证点两两之间是可以互达的。

定理2 如果树上一个非根节点 $u$ 的子树内有不止一条连向子树外的边，则该点不是 $\text{interesting}$ 点。

• 如果两条返祖边都指向同一个祖先，也就意味着 $u$ 有两条到达这个祖先的路径。
• 如果两条返祖边指向不同的祖先，但这两组先之间也存在祖先后辈关系，相当于到某个辈分较小的祖先也有两条路径。

定理3 如果树上一个非根节点 $u$ 的子树内只有一条连向子树外的边，$u$ 是“有趣点” 当且仅当这条返祖边连向的祖先也是“有趣点”。

这也是显然的。$u$ 到这个祖先是一条简单路径，祖先不是“有趣点”就意味着祖先到某个点有不止一条路径。传递过来等价于 $u$ 到某个点也有不止一条路径。

请时刻注意，根 $id$ 一定是“有趣点”，树一定没有横叉边。

所以我们可以通过 dfs 来完成筛选。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100005
bool flag;
int T, n, m;
vector < int > ans, G[maxn];
int dep[maxn], low[maxn], cnt[maxn], vis[maxn];
bool bad[maxn];void dfs_good( int u ) {if( ! flag ) return;vis[u] = 1;for( int v : G[u] )if( ! vis[v] ) dfs_good( v );else if( vis[v] == 2 ) { flag = 0; return; }vis[u] = 2;
}int dfs( int u ) {vis[u] = 1, low[u] = u;for( int v : G[u] )if( ! vis[v] ) {dep[v] = dep[u] + 1;cnt[u] += dfs( v );if( dep[low[v]] < dep[low[u]] ) low[u] = low[v];}
//为什么选深度最小的点呢？因为这个点的辈分最大 能跨过这个点的返祖边对应的点越少else {cnt[u] ++, cnt[v] --;//因为之前是直接把后代的返祖边加上来的，但是这些返祖边对于这个祖先而言还是后代之间的连边 并未跨过这个祖先if( dep[v] < dep[low[u]] ) low[u] = v;}if( cnt[u] > 1 ) bad[u] = 1;return cnt[u];
}void dfs_bad( int u ) {vis[u] = 1;if( bad[low[u]] ) bad[u] = 1;for( int v : G[u] ) if( ! vis[v] ) dfs_bad( v );
}int main() {mt19937 wwl(time(0));scanf( "%d", &T );while( T -- ) {ans.clear();for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {G[i].clear();low[i] = bad[i] = dep[i] = cnt[i] = vis[i] = 0;}scanf( "%d %d", &n, &m );for( int i = 1, u, v;i <= m;i ++ ) {scanf( "%d %d", &u, &v );G[u].push_back( v );}uniform_int_distribution < int > range( 1, n );int id = -1;for( int t = 1;t <= 100;t ++ ) {flag = 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) vis[i] = 0;id = range( wwl );dfs_good( id );if( flag ) break;}if( ! flag ) { puts( "-1" ); continue; }for( int i = 1;i <= n;i ++ ) vis[i] = 0;dfs( id );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) vis[i] = 0;dfs_bad( id );for( int i = 1;i <= n;i ++ )if( ! bad[i] ) ans.push_back( i );sort( ans.begin(), ans.end() );if( ans.size() * 5 < n ) printf( "-1" );else for( int i : ans ) printf( "%d ", i );printf( "\n" );}return 0;	
}