problem

loj3153

solution

有一个显然正确但又不起眼却是正解必备的结论：

考虑 $(x,y,z)$ 答案三元对，如果有一个数 $i\in (x,y)\wedge a_i\ge a_x$，那么 $(i,y,z)$ 一定是不劣于 $(x,y,z)$ 的。

于是乎，我们就想到了用单调栈找出这样的 $(i,y)$ 点对。

• 具体而言：

  记 $g_i:$ 存储所有 $(i,y)$ 的 $y$。

  维护一个递减的单调栈，从 $1$ 到 $n$ 开始枚举，如果枚举到的 $i$ 位 $a_i>a_{s.top()}$ 就弹栈，且把 $i$ 放入 $g_{s.top()}$，弹到 $a_i\le a_{s.top()}$ 为止。

  如果栈顶还有元素，就再把 $i$ 放入 $g_{s.top()}$。

  最后把 $i$ 入栈。

  这样所有 $(i,y)$ 点对都挂在了 $i$ 的下面。

处理出所有的点对后，我们把所有询问 $[l,r]$ 挂在 $l$ 下面。

从大到小枚举 $i$。

先把 $g_i:(i,y)$ 所有点对信息更改，当 $z\ge y\ast 2-i$ 时，$(i,y,z)$ 就是一个合法三元对。

这个时候的 $z$ 对应着一段区间，我们容易想到线段树修改。

维护一棵线段树，树上每个节点表示做 $z$ 时的最大 $a_x+a_y+a_z$。

用 $a_i+a_y$ 修改 $[y\ast 2-i,n]$ 区间，初始建树时就已经把 $a_z$ 挂在 $z$ 节点上面了。

然后查询 $l=i$ 的所有询问，在线段树上查询 $[l,r]$ 区间。

这也是为什么要从大到小枚举的原因。

线段树具体维护可见代码。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define maxn 500005
int n, Q;
int ans[maxn], a[maxn];
stack < int > s;
vector < int > g[maxn];
vector < pair < int, int > > q[maxn];namespace SGT {struct node { int sum, tag, Max; }t[maxn << 2];#define lson now << 1#define rson now << 1 | 1#define mid  (l + r >> 1)void pushdown( int now ) {if( ! t[now].tag ) return;t[lson].tag = max( t[lson].tag, t[now].tag );t[lson].Max = max( t[lson].Max, t[lson].sum + t[now].tag );t[rson].tag = max( t[rson].tag, t[now].tag );t[rson].Max = max( t[rson].Max, t[rson].sum + t[now].tag );t[now].tag = 0;}void build( int now, int l, int r ) {if( l == r ) { t[now].sum = a[l]; return; }build( lson, l, mid );build( rson, mid + 1, r );t[now].sum = max( t[lson].sum, t[rson].sum );}void modify( int now, int l, int r, int L, int R, int val ) {if( R < l or r < L or L > R ) return;if( L <= l and r <= R ) {t[now].tag = max( t[now].tag, val );t[now].Max = max( t[now].Max, t[now].sum + val );return;}pushdown( now );modify( lson, l, mid, L, R, val );modify( rson, mid + 1, r, L, R, val );t[now].Max = max( t[lson].Max, t[rson].Max );}int query( int now, int l, int r, int L, int R ) {if( R < l or r < L ) return -1e9;if( L <= l and r <= R ) return t[now].Max;pushdown( now );return max( query( lson, l, mid, L, R ), query( rson, mid + 1, r, L, R ) );}
}signed main() {scanf( "%lld", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {scanf( "%lld", &a[i] );while( ! s.empty() and a[s.top()] < a[i] ) g[s.top()].push_back( i ), s.pop();if( ! s.empty() ) g[s.top()].push_back( i );s.push( i );}SGT :: build( 1, 1, n );scanf( "%lld", &Q );for( int i = 1, l, r;i <= Q;i ++ ) {scanf( "%lld %lld", &l, &r );q[l].push_back( make_pair( r, i ) );}for( int i = n;i;i -- ) {for( int j : g[i] )SGT :: modify( 1, 1, n, j * 2 - i, n, a[i] + a[j] );for( auto it : q[i] )ans[it.second] = SGT :: query( 1, 1, n, i, it.first );}for( int i = 1;i <= Q;i ++ )printf( "%lld\n", ans[i] );return 0;
}