problem

luogu-P4299

solution

本题考察了很经典的模型，运用了很经典的解法。

本题用到了重心的两个性质：

• 两棵树合并为同一棵树时，新的重心一定在原来两棵树各自重心的路径上。

• 重心为根时的最大子树大小最小，不超过 $siz/2$。

  如果树节点个数为奇数，则只有一个重心。否则有两个重心。

找到 $x,y$ 各自所在的国家的重心 $gx,gy$。

将 $x,y$ 连边完成国家合并。

然后把 $gx-gy$ 的路径 $\text{split}$ 出来。

接着就暴力 $\text{dfs}$ 根据左右儿子的 $\text{siz}$ 判断走左还是走右，因为每次 $siz$ 至少减小一半，所以时间复杂度仍然是一个 $log$。

具体而言：当左右子树 $\text{siz}$ 都不超过总个数的一半时，将这个点纳入重心备选。然后看左右儿子谁的 $siz$ 更大，就往哪边走。

但是很遗憾 $\text{LCT}$ 认父不认子，对于一个点只能记录两个左右儿子的 $\text{siz}$。

我们好像不能获得一个点的子树内所有的节点个数？

这就是一个 $\text{LCT}$ 经典应用了。

用 $t[i].siz$ 记录 $i$ 子树大小，$t[i].tot$ 记录除开两个左右儿子的 $siz$，其余虚儿子的 $siz$ 的和。

更新就需要写成：

t[x].siz = t[t[x].son[0]].siz + t[t[x].son[1]].siz + 1 + t[x].tot;

与此同时，所有涉及更改虚实儿子的，都要重新维护 $tot$。

一般就是 $\text{access}$ 中的操作，会多加一行。

t[x].tot += t[t[x].son[1]].siz - t[son].siz;

而且为了保证信息的时效性，我们的 $\text{link}$ 操作要还是像以前一样，直接记一下 $x$ 的父亲是 $y$ 就不行了。

也不能直接把 $y$ 的信息更新一下就完了。

因为一旦 $x,y$ 连边，各自所在的子树的位置一路往上信息都要修改。

所以我们不如直接让 $x,y$ 成为联通块的根，$\text{split(x,y)}$ 即可。

由于 $LCT$ 的 $\text{findroot}$ 慢得慌，我们直接用并查集维护每个联通块的重心即可，重心的异或和也用个变量维护即可。

具体可见代码实现。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100005namespace LCT {int top = 0, sta[maxn];struct node { int son[2], fa, tot, tag, siz; }t[maxn];bool root( int x ) { return t[t[x].fa].son[0] ^ x and t[t[x].fa].son[1] ^ x; }void pushup( int x ) { t[x].siz = t[t[x].son[0]].siz + t[t[x].son[1]].siz + 1 + t[x].tot; }void reverse( int x ) { swap( t[x].son[0], t[x].son[1] ); t[x].tag ^= 1; }void pushdown( int x ) {if( ! t[x].tag ) return;if( t[x].son[0] ) reverse( t[x].son[0] );if( t[x].son[1] ) reverse( t[x].son[1] );t[x].tag = 0;}void rotate( int x ) {int fa = t[x].fa;int Gfa = t[fa].fa;int d = t[fa].son[1] == x;if( ! root( fa ) ) t[Gfa].son[t[Gfa].son[1] == fa] = x;t[x].fa = Gfa;if( t[x].son[d ^ 1] ) t[t[x].son[d ^ 1]].fa = fa;t[fa].son[d] = t[x].son[d ^ 1];t[x].son[d ^ 1] = fa;t[fa].fa = x;pushup( fa );pushup( x );}void splay( int x ) {sta[++ top] = x; int y = x;while( ! root( y ) ) sta[++ top] = y = t[y].fa;while( top ) pushdown( sta[top --] );while( ! root( x ) ) {int fa = t[x].fa, Gfa = t[fa].fa;if( ! root( fa ) ) (t[Gfa].son[1] == fa) ^ (t[fa].son[1] == x) ? rotate( x ) : rotate( fa );rotate( x ); }}void access( int x ) { for( int son = 0;x;son = x, x = t[x].fa ) { splay( x );t[x].tot += t[t[x].son[1]].siz - t[son].siz;t[x].son[1] = son;pushup( x ); }}void makeroot( int x ) { access( x ); splay( x ); reverse( x ); }void split( int x, int y ) { makeroot( x ); access( y ); splay( y ); }void link( int x, int y ) { split( x, y ); t[t[x].fa = y].tot += t[x].siz; pushup( y ); }int dfs( int x ) {int lsum = 0, rsum = 0, siz = t[x].siz >> 1, flag = t[x].siz & 1, ans = 1e9;while( x ) {pushdown( x );int lcnt = lsum + t[t[x].son[0]].siz;int rcnt = rsum + t[t[x].son[1]].siz;if( lcnt <= siz and rcnt <= siz ) {if( flag ) { ans = x; break; }else ans = min( ans, x );}if( lcnt < rcnt ) { lsum += t[x].siz - t[t[x].son[1]].siz; // + t[t[x].son[0]].siz + t[x].tot + 1x = t[x].son[1];}else {rsum += t[x].siz - t[t[x].son[0]].siz; // +t[t[x].son[1]].siz + t[x].tot + 1x = t[x].son[0];}}splay( ans );return ans;}
}int f[maxn];
int find( int x ) { return x == f[x] ? x : f[x] = find( f[x] ); }int main() {int ans = 0, x, y, n, m; char opt[10];scanf( "%d %d", &n, &m );iota( f + 1, f + n + 1, 1 );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) ans ^= i;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) {scanf( "%s", opt );switch( opt[0] ) {case 'X' : printf( "%d\n", ans ); break;case 'Q' : {scanf( "%d", &x );printf( "%d\n", find( x ) );break;}case 'A' : {scanf( "%d %d", &x, &y );LCT :: link( x, y );x = find( x ), y = find( y );LCT :: split( x, y );int g = LCT :: dfs( y );ans ^= x ^ y ^ g;f[x] = f[y] = f[g] = g;break;}}}return 0;
}