problem

luogu-P3349

solution

这个数据首先就能想到状压 $dp$。

先考虑在树上的朴素 $dp(i,j,S):$ 节点 $i$ 的对应原图编号为 $j$，其子树对应的编号构成的点集为 $S$ 的方案数。

需要满足两个限制条件：

• 原图的每个节点只能被编一次号，且必须被编号。
• 树上每一条边必须在原图出现。

第二个限制是对转移后继的限制，重点在于第一个限制。

先假设没有第一个限制，我们就可以扔掉状压的第三维，即：
$$dp(u,i)=\prod _{v\in so{n}_u}\sum _{j=1}^{n}dp(v,j)$$
在此基础上，我们再考虑加上第一条限制。

当原图的一个点被多个树上点对应编号时，那么一定有其他的点没有被对应编号。

所以我们可以每次枚举有哪些点没有被对应编号。

最后容斥即可，$(|S|=n)-(|S|=n-1)+(|S|=n-2)...$ $0$ 个没有$-1$个没有 $+2$ 个没有$\dots$

总时间复杂度 $O(n{2}^n)$。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 20
#define int long long
vector < int > G[maxn];
int g[maxn][maxn];
int dp[maxn][maxn];
int flag[maxn];
int n, m;void dfs( int u, int fa ) {for( int i = 1;i <= n;i ++ ) dp[u][i] = flag[i] ^ 1;for( int v : G[u] )if( v == fa ) continue;else {dfs( v, u );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {if( flag[i] ) continue;int sum = 0;for( int j = 1;j <= n;j ++ )if( g[i][j] and ! flag[j] ) sum += dp[v][j];dp[u][i] *= sum;}}
}signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &m );for( int i = 1, u, v;i <= m;i ++ ) {scanf( "%lld %lld", &u, &v );g[u][v] = g[v][u] = 1;}for( int i = 1, u, v;i < n;i ++ ) {scanf( "%lld %lld", &u, &v );G[u].push_back( v );G[v].push_back( u );}int ans = 0;for( int s = 0;s < (1 << n);s ++ ) {for( int i = 0;i < n;i ++ )flag[i + 1] = s >> i & 1;dfs( 1, 0 );int sum = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) sum += dp[1][i];if( __builtin_popcount( s ) & 1 ) ans -= sum;else ans += sum;}printf( "%lld\n", ans );return 0;
}