problem

给定一个长度为 $n$ 的排列 $a$。有 $q$ 个询问，每次询问一个区间 $[l,r]$。求这个区间的 $k$ 值。

其中 $k={\sum }_{i=l}^r{\sum }_{j=i+1}^{r}f(a_i,a_j),f(x,y)$ 为一个递归函数，定义如下：

• 当 $x=y$，其值为 $1$。
• 当 $n\ne y$，其值为 $f(x+y+|x-y|,|x-y|)$。
• 若无限循环，其值为 $0$。

$n,q\le 1e5$。

solution

$\text{observation1}:$ 首先观察这个函数，不难发现这个函数 $x,y$ 的和是不变的。

所以当这个和为奇数的时候，一定会死循环，不可能走到 $x=y$ 的局面。

否则 $x,y$ 一定同奇偶。

$\text{observation2}:$ 又不难知道加减运算过程中结果仍是 $\text{gcd}$ 的倍数。所以去掉不影响答案。

因此我们可以将 $x,y$ 都除以他们的 $\text{gcd}$。那么此时得到的 $x,y$ 均为奇数且互质。

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接下来假设 $x>y$，我们可以同时除以他们的 $\text{gcd}$。

由于 $x,y$ 同为奇，故 $y\ast 2,x-y$ 都是偶数。

再假设 $y\ast 2,x-y$ 有与 $2$ 互质的公因数 $k(k\ne 1)$。

则 $k\mid y\wedge k\mid x-y$，所以 $k\mid x$，这与 $(x,y)=1$ 矛盾。

所以这个 $\text{gcd}$ 一定为 $2$。

所以 $f(x,y)$ 等价于 $f(\frac{x-y}{2},y)$。

故其和每次都会除以 $2$，直到 $x=y=1$ 或死循环。

这样我们就可以求出 $f(i,j)$ 的值为 $g(\frac{i+j}{\gcd (i,j)})$，其中当 $x=2^k$ 时，$g(x)=k$；否则 $g(k)=0$。

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假设 $x,y$ 最简比为 $a,b$，即 $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}$。

我们不妨枚举 $2^i$，使得 $a+b=2^i$，然后枚举 $a$，自然就知道了 $b$。还需要检查一下 $a,b$ 互质。

再枚举这个比例，进而也能知道 $x,y$。

显然这样的 $(a,b)$ 有 $2^i$ 种，且 $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=d\le \frac{n}{2^{i-1}}$。

这样合法的不同的 $(x,y)$ 只有 $2n$ 对左右。

一共也就 $O(n\log n)$ 的级别，我们完全可以将这些二元组记下来，问题就转换成了二维偏序问题。

就可以用树状数组做了。

时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。

其实由二离和分块的做法，但我不会哈哈哈

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 200005
#define int long long
int n, m;
int a[maxn], p[maxn], ret[maxn], t[maxn];
vector < int > G[maxn];
vector < pair < int, int > > Q[maxn];int gcd( int x, int y ) {if( ! y ) return x;else return gcd( y, x % y );
}void add( int i, int x ) {for( ;i <= n;i += i & -i ) t[i] += x;
}int ask( int i ) {int ans = 0;\for( ;i;i -= i & -i ) ans += t[i];return ans;
}int F( int x, int y ) {if( x == y ) return 1;if( x < y ) swap( x, y );return F( y << 1, x - y ) + 1;
}void solve() {for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {for( int j : G[i] ) {int k = F( a[j], a[i] );add( 1, k ), add( j + 1, -k );}for( auto j : Q[i] ) ret[j.second] = ask( j.first );}
}signed main() {scanf( "%lld", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] ), p[a[i]] = i;for( int i = 0;(1 << i) <= (n << 1);i ++ ) {for( int j = 1;j <= n;j ++ ) {int k = (1 << i) - a[j];if( k <= 0 or k > n or p[k] > j or a[j] == k ) continue;if( gcd( k, a[j] ) ^ 1 ) continue;for( int o = 1;p[o * k] and p[o * a[j]];o ++ ) {int x = p[o * k], y = p[o * a[j]];if( x > y ) swap( x, y );G[y].push_back( x );}}}scanf( "%lld", &m );for( int i = 1, l, r;i <= m;i ++ ) {scanf( "%lld %lld", &l, &r );Q[r].push_back( make_pair( l, i ) );}solve();for( int i = 1;i <= m;i ++ ) printf( "%lld\n", ret[i] );return 0;
}