[HNOI2015] 接水果（倍增 + 整体二分）

problem

luogu-P3242

solution

本题的难点在于如何判定路径之间是否覆盖。

这里我们尝试树常见的 $dfs\text{dfs}$ 序。

考虑 $x - y$ 路径如果要覆盖 $u - v$ 路径需要满足怎样的条件。

以下均假设 $d f s (u) < d f s (v), d f s (x) < d f s (y)$ 。

$lca(u,v)≠ulca(u,v)\ne u$ 。

$x$ 必须是 $u$ 子树内的一点， $y$ 必须是 $v$ 子树内的一点。

我们记点 $i$ 子树内的 $dfs\text{dfs}$ 序列对应连续区间为 $[l (i), r (i)]$ 。

则要 $l(u)≤l(x)≤r(u)∧l(v)≤l(y)≤r(v)l(u)\le l(x)\le r(u)\wedge l(v)\le l(y)\le r(v)$ 。

其实，我们可以将 $(l (x), l (y))$ 当成一个点的坐标；

将 $(l (u), l (v)) - (r (u), r (v))$ 看作左下角为 $(l (u), l (v))$ 右上角为 $(r (u), r (v))$ 的矩阵。

发现这个点就是落在这个矩阵内的。

所以问题就是某个点被若干个矩形包含，求这里面的权值第 $k$ 小的矩阵。
$l c a (u, v) = u$ 。

$x$ 必须属于 $u→vu\rightarrow v$ 走的第一个点子树外的部分， $y$ 仍是 $v$ 子树内一点。

即，假设 $u$ 到 $v$ 的路径经过的 $u$ 的儿子为 $w$ ，即路径为 $u→w→…vu\rightarrow w\rightarrow\dots v$ 。

则要 $1≤l(x)<l(w)∨r(w)<l(x)≤n1\le l(x)<l(w)\vee r(w)<l(x)\le n$ ， $l(v)≤l(y)≤r(v)l(v)\le l(y)\le r(v)$ 。

两个条件是独立的。
- $1≤l(x)<l(w)1\le l(x)<l(w)$ ，对应矩阵 $(1, l (v)) - (l (w) - 1, r (v))$ 。
- $r(w)<l(x)≤nr(w)<l(x)\le n$ ，对应矩阵 $(l (v), r (w) + 1) - (r (v), n)$ 。

找 $l c a$ 和某个点的下面一个点，可以倍增，可以树链剖分，好像是链剖分快点，但我们不需要卡这么点常。

对于一个询问，我们可以二分答案，然后把所有权值不大于答案的矩阵激活，统计包含该询问对应点的被激活的矩阵有多少个，根据和 $k$ 的关系移动二分端点。

所以我们可以对所有询问套一个整体二分。

而这个矩阵激活我们就可以扫描线地做。

对于 $(x 1, y 1) - (x 2, y 2)$ 的矩阵，我们以 $x$ 轴做扫描线从左往右扫。

变成 $(y 1, y 2, x 1, 1)$ 在 $x = x 1$ 的时候把 $[y 1, y 2] + 1$ ， $(y 1, y 2, x 2 + 1, - 1)$ 在 $x = x 2$ 的时候把 $[y 1, y 2] - 1$ 。

数据结构仍然使用树状数组。

由于使用的是扫描线，所以一开始要将所有询问按 $x$ 排序，并且将矩阵按权值排序。

且每次整体二分内部都要将权值属于 $[l, m i d]$ 区间的矩阵重新按 $x$ 轴排序。

时间复杂度 $O(n\log^2n)$ 。

code

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 40005vector < int > G[maxn];
int dep[maxn], st[maxn], ed[maxn];
int f[maxn][16];
int cnt;void dfs( int u, int fa ) {dep[u] = dep[fa] + 1, f[u][0] = fa, st[u] = ++ cnt;for( int i = 1;i < 16;i ++ ) f[u][i] = f[f[u][i - 1]][i - 1];for( int v : G[u] ) if( v ^ fa ) dfs( v, u );ed[u] = cnt;
}
int lca( int u, int v ) {if( dep[u] < dep[v] ) swap( u, v );for( int i = 15;~ i;i -- ) if( dep[f[u][i]] >= dep[v] ) u = f[u][i];if( u == v ) return u;for( int i = 15;~ i;i -- ) if( f[u][i] ^ f[v][i] ) u = f[u][i], v = f[v][i];return f[u][0];
}
int top( int u, int d ) {for( int i = 15;~ i;i -- ) if( d >> i & 1 ) u = f[u][i]; return u;
}int cntg, n, m1, m2;
int ans[maxn];
struct scan { int l, r, x, op; }s[maxn << 2];
struct matrix { int x1, y1, x2, y2, w; }g[maxn << 2];
struct query { int x, y, k, id; }q[maxn], L[maxn], R[maxn];namespace BIT {int t[maxn];void add( int l, int r, int k ) {for( ;l <= n;l += l & -l ) t[l] += k;for( ;r <= n;r += r & -r ) t[r] -= k;}int ask( int x ) {int sum = 0;for( ;x;x -= x & -x ) sum += t[x];return sum;}
}void solve( int l, int r, int ql, int qr ) {if( ql > qr ) return;if( l == r ) { for( int i = ql;i <= qr;i ++ ) ans[q[i].id] = g[l].w; return; }int mid = l + r >> 1; cnt = 0;for( int i = l;i <= mid;i ++ ) {s[++ cnt] = (scan){ g[i].y1, g[i].y2, g[i].x1, 1 };s[++ cnt] = (scan){ g[i].y1, g[i].y2, g[i].x2 + 1, -1 };}sort( s + 1, s + cnt + 1, []( scan a, scan b ) { return a.x < b.x; } );int cntl = 0, cntr = 0, j = 1;for( int i = ql;i <= qr;i ++ ) {for( ;j <= cnt and s[j].x <= q[i].x;j ++ ) BIT :: add( s[j].l, s[j].r + 1, s[j].op );int k = BIT :: ask( q[i].y );if( q[i].k <= k ) L[++ cntl] = q[i];else q[i].k -= k, R[++ cntr] = q[i]; }for( int i = 1;i < j;i ++ ) BIT :: add( s[i].l, s[i].r + 1, -s[i].op );//不一定把l~mid的矩阵都挂在了树上的for( int i = 1;i <= cntl;i ++ ) q[ql + i - 1] = L[i];for( int i = 1;i <= cntr;i ++ ) q[ql + cntl + i - 1] = R[i];solve( l, mid, ql, ql + cntl - 1 );solve( mid + 1, r, ql + cntl, qr );
}int main() {scanf( "%d %d %d", &n, &m1, &m2 );for( int i = 1, u, v;i < n;i ++ ) {scanf( "%d %d", &u, &v );G[u].push_back( v );G[v].push_back( u );}dfs( 1, 0 );for( int i = 1, u, v, w;i <= m1;i ++ ) {scanf( "%d %d %d", &u, &v, &w );if( st[u] > st[v] ) swap( u, v );int x = lca( u, v );if( x ^ u ) g[++ cntg] = (matrix){ st[u], st[v], ed[u], ed[v], w };else {x = top( v, dep[v] - dep[u] - 1 );if( st[x] ^ 1 ) g[++ cntg] = (matrix){ 1, st[v], st[x] - 1, ed[v], w };if( ed[x] ^ n ) g[++ cntg] = (matrix){ st[v], ed[x] + 1, ed[v], n, w };}}for( int i = 1, u, v, k;i <= m2;i ++ ) {scanf( "%d %d %d", &u, &v, &k );if( st[u] > st[v] ) swap( u, v );q[i] = (query){ st[u], st[v], k, i };}sort( q + 1, q + m2 + 1, [](query a, query b) { return a.x < b.x; } );sort( g + 1, g + cntg + 1, [](matrix a, matrix b){ return a.w < b.w; } );solve( 1, cntg, 1, m2 );for( int i = 1;i <= m2;i ++ ) printf( "%d\n", ans[i] );return 0;
}