同余最短路是用来解决一类 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_i\in [L,R]$ 问题的方法。

其中 $L,R$ 值非常大，而 $n$ 不是很大，大概是接受 $O(n^2)$ 的范围，$x_i$ 是自定义的系数。

先差分一下，变成 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_i\in [0,R]-{\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_i\in [0,L-1]$。

我们选中其中 $a_i$ 最小的作为标准 $a_0$。

显然，每个数都能表示成 $x{a}_0+r$ 的形式，$r$ 是余数 $<a_0$。

然后我们将所有的数按照 $r$ 分类，分出了 $a_0$ 个类，编号 $0\sim a_0-1$。

考虑当我们能够凑出一个数 $t\in [L,R]$ 中，那么 $t+a_0,t+2a_0,...$ 都能被凑出来。

且不难发现这些数都属于一个余数类中。

如果我们能求出每个余数类中最小被表示出来的数 $t_0$，那么就可以用 $\lfloor \frac{R-t_0}{a_0}\rfloor +1$ 算出这个类中的 $\in [0,R]$ 的合法数。

所以现在还需要快速求出每个类中的 $t_0$。

因为我们计算类中的个数就是无限制地用了 $a_0$，所以不妨在这里就不再使用。即我们使用若干个除 $a_0$ 外的所有 $a_i$ 来构造出。

假设我们能构造出某个余数类中的数 $t$，那么我们就能构造出编号为 $(t+a_i)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_0$ 余数类中的数 $t+a_i$。

发现这个关系可以看作一条边，而整个过程我们无非是在求到一个点（余数类）的最短路（最小能表示出的数）。

具体而言，将每个余数类建成一个点，然后点 $x$ 向 $(x+a_i)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_0$ 点连边，边权为 $a_i$，然后求最短路。

从 $0$ 点开始，初始化 $\text{dis}(0)=0$ 即可。因为最小的可以被构造出来的数肯定是 $0$，什么数都不用即可。

跳楼机

luogu-P3403

注意：楼层是从 $1$ 开始的。我们整体往下移动一个单位即可。这题还不用差分，虽然差分没有任何难度。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define Pair pair < int, int >
vector < Pair > G[100005];
int h;
int a[5], dis[100005];
priority_queue < Pair, vector < Pair >, greater < Pair > > q;void addedge( int u, int v, int w ) {G[u].push_back( make_pair( v, w ) );
}void dijkstra() {q.push( make_pair( dis[0] = 0, 0 ) );while( ! q.empty() ) {int u = q.top().second, w = q.top().first; q.pop();if( dis[u] ^ w ) continue;for( int i = 0;i < G[u].size();i ++  ) {int v = G[u][i].first; w = G[u][i].second;if( dis[v] > dis[u] + w )q.push( make_pair( dis[v] = dis[u] + w, v ) );}}
}signed main() {scanf( "%lld", &h );for( int i = 1;i <= 3;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] );sort( a + 1, a + 4 );if( a[1] == 1 ) return ! printf("%lld\n", h );for( int i = 0;i < a[1];i ++ ) {addedge( i, ( i + a[2] ) % a[1], a[2] );addedge( i, ( i + a[3] ) % a[1], a[3] );}memset( dis, 0x3f, sizeof( dis ) );dijkstra();int ans = 0;for( int i = 0;i < a[1];i ++ )if( dis[i] <= h - 1 )ans += ( h - 1 - dis[i] ) / a[1] + 1;printf( "%lld\n", ans ); return 0;
}

[国家集训队]墨墨的等式

luogu-P2371

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define Pair pair < int, int >
int n, l, r;
int dis[500005], a[15];
priority_queue < Pair, vector < Pair >, greater < Pair > > q;
vector < Pair > G[500005];void addedge( int u, int v, int w ) {G[u].push_back( make_pair( v, w ) );
}void dijkstra() {q.push( make_pair( dis[0] = 0, 0 ) );while( ! q.empty() ) {int u = q.top().second, w = q.top().first; q.pop();if( dis[u] ^ w ) continue;for( int i = 0;i < G[u].size();i ++  ) {int v = G[u][i].first; w = G[u][i].second;if( dis[v] > dis[u] + w )q.push( make_pair( dis[v] = dis[u] + w, v ) );}}
}int query( int n ) {int ans = 0;for( int i = 0;i < a[1];i ++ )if( dis[i] <= n )ans += ( n - dis[i] ) / a[1] + 1;return ans;
}signed main() {scanf( "%lld %lld %lld", &n, &l, &r );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] );sort( a + 1, a + n + 1 );for( int i = 0;i < a[1];i ++ )for( int j = 2;j <= n;j ++ )addedge( i, ( i + a[j] ) % a[1], a[j] );memset( dis, 0x3f, sizeof( dis ) );dijkstra();printf( "%lld\n", query( r ) - query( l - 1 ) );return 0;
}