problem

luogu-P3345

solution

这是一个带权重心的题，考察动态点分治。点分治？呵，不可能的，这辈子都不可能写点分治

我们重新考虑重心的性质：以这个点为根时，所有子树的大小不会超过整体大小的一半。

带权重心无非是树上每个点不再是等权的 $1$，而是 $d_i$。

考虑随机从一个点走向重心：当前假设重心为 $x$，我们维护一个值 $si{z}_x$ 表示 $x$ 所在子树所有节点的权值和。

那么如果存在一个 $x$ 的子节点 $y$，满足 $2\ast si{z}_y>$ $x$ 树中所有点的权值和，则 $y$ 更优，否则 $x$ 更优。

比较暴力的想法就是从根节点一路往下找，但这样每次 $O(n)$ 搜一遍树时间开销过大，这是因为走了很多没有用的点。

因此我们考虑树链剖分，这样可以获得一个 $\text{dfs}$ 序，然后用线段树维护区间 $siz$ 的最大值。

树链剖分得到的 $\text{dfs}$ 序中深度深的节点 $\text{dfs}$ 序更大。

查询时就在线段树上二分，每次分为 $[l,mid],(mid,r]$，只要 $(mid,r]$ 区间的最大值满足重心判断就往右子树走，否则走左子树。

时间复杂度 $O(\log n)$。

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现在假设已经求出了重心 $x$，接下来考虑如何计算答案。
$$\begin{gathered} ans=\sum _i{d}_i\ast dis(x,i)=\sum _i{d}_i\ast (de{p}_x+de{p}_i-2\ast de{p}_{lca(x,i)}) \\ =de{p}_x\sum d_i+\sum d_i\ast de{p}_i-2\sum d_i\ast de{p}_{lca(x,i)} \end{gathered}$$
$\sum d_i,\sum d_i\ast de{p}_i$ 直接用两个变量维护即可，问题在于如何维护 $\sum d_i\ast de{p}_{lca(x,i)}$。

其实这是一个很经典的树链剖分维护形式。

当 $d_i\leftarrow +w$ 时，把 $i$ 到根路径上所有点均 $+w$，然后查询 $x$ 到根路径上的点权值和。

先树差分一下，即在线段树中 $i$ 存储 $de{p}_i-de{p}_{f{a}_i}$。这样从 $i$ 一路加到根上面算出的才是 $i$ 这个点本身的实际贡献。

很好写，时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$ 也能跑过。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define maxn 100005
int n, Q;
vector < pair < int, int > > G[maxn];
int f[maxn], dep[maxn], dfn[maxn], id[maxn];namespace SGT {struct node { int Max, sum, val, tag; }t[maxn << 2];#define lson now << 1#define rson now << 1 | 1#define mid  (l + r >> 1)void build( int now, int l, int r ) {if( l == r ) { t[now].val = dep[id[l]] - dep[f[id[l]]]; return; }build( lson, l, mid );build( rson, mid + 1, r );t[now].val = t[lson].val + t[rson].val;}void pushdown( int now ) {if( ! t[now].tag ) return;t[lson].tag += t[now].tag;t[lson].Max += t[now].tag;t[lson].sum += t[lson].val * t[now].tag;t[rson].tag += t[now].tag;t[rson].Max += t[now].tag;t[rson].sum += t[rson].val * t[now].tag;t[now].tag = 0;}void modify( int now, int l, int r, int L, int R, int x ) {if( R < l or r < L ) return;if( L <= l and r <= R ) { t[now].tag += x;t[now].Max += x;t[now].sum += t[now].val * x;return;}pushdown( now );modify( lson, l, mid, L, R, x );modify( rson, mid + 1, r, L, R, x );t[now].Max = max( t[lson].Max, t[rson].Max );t[now].sum = t[lson].sum + t[rson].sum;}int query( int now, int l, int r, int L, int R ) {if( R < l or r < L ) return 0;if( L <= l and r <= R ) return t[now].sum;pushdown( now );return query( lson, l, mid, L, R ) + query( rson, mid + 1, r, L, R );}int query( int x ) {int now = 1, l = 1, r = n;while( l ^ r ) {pushdown( now );if( t[rson].Max >= x ) now = rson, l = mid + 1;else now = lson, r = mid;}return id[l];}
}namespace Qtree {int cnt = 0;int son[maxn], siz[maxn], top[maxn];void dfs1( int u, int fa ) {f[u] = fa; siz[u] = 1;for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) {int v = G[u][i].first, w = G[u][i].second;if( v == fa ) continue;else dep[v] = dep[u] + w, dfs1( v, u );siz[u] += siz[v];if( siz[v] > siz[son[u]] ) son[u] = v;}}void dfs2( int u, int t ) {top[u] = t, id[dfn[u] = ++ cnt] = u;if( son[u] ) dfs2( son[u], t );else return;for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) {int v = G[u][i].first;if( v == f[u] or v == son[u] ) continue;else dfs2( v, v );}}void modify( int x, int y ) {while( top[x] ) {SGT :: modify( 1, 1, n, dfn[top[x]], dfn[x], y );x = f[top[x]];}}int query( int x ) {int ans = 0;while( top[x] ) {ans += SGT :: query( 1, 1, n, dfn[top[x]], dfn[x] );x = f[top[x]];}return ans;}
}signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &Q );for( int i = 1, u, v, w;i < n;i ++ ) {scanf( "%lld %lld %lld", &u, &v, &w );G[u].push_back( make_pair( v, w ) );G[v].push_back( make_pair( u, w ) );}Qtree :: dfs1( 1, 0 );Qtree :: dfs2( 1, 1 );SGT :: build( 1, 1, n );int x, y, sum1 = 0, sum2 = 0;while( Q -- ) {scanf( "%lld %lld", &x, &y );Qtree :: modify( x, y );sum1 += dep[x] * y;sum2 += y;int p = SGT :: query( sum2 + 1 >> 1 );printf( "%lld\n", sum1 + dep[p] * sum2 - (Qtree :: query( p ) << 1) );}return 0;
}