Codeforces Global Round 14 E. Phoenix and Computers 思维 + dp

传送门

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  • 题意:
  • 思路:

题意:

nnn台电脑,你可以手动打开某个电脑,如果第i−1,i+1i-1,i+1i1,i+1台电脑都打开了,那么第iii台电脑会自动打开。不能手动打开自动打开的电脑,问有多少种打开的方式使得所有电脑都开机。

思路:

首先考虑全都手动打开nnn台电脑有多少种方案。
111开始,那么111右边的所有电脑都必须依次打开,方案数是C(n−1,0)C(n-1,0)C(n1,0)
222开始,那么222右边的所有电脑都必须依次打开,左边的电脑可以在保证顺序的情况下任意时刻打开,方案数C(n−1,1)C(n-1,1)C(n1,1)
以此类推,总方案是C(n−1,0)+C(n−1,1)+...+C(n−1,n−1)=2n−1C(n-1,0)+C(n-1,1)+...+C(n-1,n-1)=2^{n-1}C(n1,0)+C(n1,1)+...+C(n1,n1)=2n1
再考虑电脑最终一定是一段手动开的,一个自动,一段手动,一段自动…一段手动。
那么定义f[i][j]f[i][j]f[i][j]表示第iii台电脑是手动开的,第i+1i+1i+1台电脑是自动开的,手动打开了jjj台电脑。
我们可以枚举多打开的电脑个数kkk来转移,即f[i][j]−>f[i+1+k][j+k]f[i][j]->f[i+1+k][j+k]f[i][j]>f[i+1+k][j+k],含义是pos−>ipos->ipos>i手动打开,i+1i+1i+1自动打开,i+2−>i+1+ki+2->i+1+ki+2>i+1+k手动打开。
由于多开了kkk台电脑,那么按照上面结论,它有2k−12^{k-1}2k1个打开的方法。
由于前面已经打开了jjj个了,我们可以从j+kj+kj+k个位置选kkk个位置来打开kkk个电脑,所以乘一个C(k+j,k)C(k+j,k)C(k+j,k)即可。
转移方程为:f[i+k+1][j+k]+=f[i][j]∗2k−1∗C(j+k,k)f[i+k+1][j+k]+=f[i][j]*2^{k-1}*C(j+k,k)f[i+k+1][j+k]+=f[i][j]2k1C(j+k,k)

//#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")
//#pragma GCC optimize(2)
#include<cstdio>
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#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
#include<cctype>
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#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#define X first
#define Y second
#define L (u<<1)
#define R (u<<1|1)
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define Mid (tr[u].l+tr[u].r>>1)
#define Len(u) (tr[u].r-tr[u].l+1)
#define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1))
#define db puts("---")
using namespace std;//void rd_cre() { freopen("d://dp//data.txt","w",stdout); srand(time(NULL)); }
//void rd_ac() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//AC.txt","w",stdout); }
//void rd_wa() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//WA.txt","w",stdout); }typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;const int N=510,INF=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-6;int n,mod;
LL c[N][N],pow2[N];
LL f[N][N];int main()
{
//	ios::sync_with_stdio(false);
//	cin.tie(0);scanf("%d%d",&n,&mod);pow2[0]=1;for(int i=1;i<N;i++) pow2[i]=pow2[i-1]*2%mod;for(int i=0;i<N;i++)for(int j=0;j<=i;j++){if(j==0) { c[i][j]=1; continue; }c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j]; c[i][j]%=mod;}for(int len=1;len<=n;len++){f[len][len]=pow2[len-1];for(int cnt=0;cnt<=len;cnt++)for(int k=1;k+len<=n;k++)(f[len+k+1][cnt+k]+=f[len][cnt]*c[cnt+k][k]%mod*pow2[k-1]%mod)%=mod;}LL ans=0;for(int i=0;i<=n;i++) (ans+=f[n][i])%=mod;printf("%lld\n",ans);return 0;
}
/**/

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