【CF923E】Perpetual Subtraction【生成函数】【积分推式子】【NTT卷积】

题意：有一个整数 $x∈[0,n]x\in[0,n]$ ，取 $i$ 的概率为 $p_i$ 。执行 $m$ 次操作，每次把 $x$ 等概率变成 $[0, x]$ 中的一个整数，求操作完后等于每个数的概率。模 $998244353$ 。

$n≤105,m≤1018n\leq 10^5,m\leq10^{18}$

显然有一个dp式子

$fi,j=∑k=jnfi−1,kk+1f_{i,j}=\sum_{k=j}^n\frac{f_{i-1,k}}{k+1}$

考虑生成函数

$fi(x)=∑j=0n∑k=jn[xk]fi−1(x)k+1xjf_i(x)=\sum_{j=0}^n\sum_{k=j}^n\frac{[x^k]f_{i-1}(x)}{k+1}x^j$

$=∑k=0n[xk]fi−1(x)k+1∑j=0kxj=\sum_{k=0}^n\frac{[x^k]f_{i-1}(x)}{k+1}\sum_{j=0}^kx^j$

等比数列求和

$=∑k=0n[xk]fi−1(x)k+1xk+1−1x−1=\sum_{k=0}^n\frac{[x^k]f_{i-1}(x)}{k+1}\frac{x^{k+1}-1}{x-1}$

似乎推不动了

但是有奥妙重重的一步：

$=∑k=0n[xk]fi−1(x)x−1xk+1−1k+1=\sum_{k=0}^n\frac{[x^k]f_{i-1}(x)}{x-1}\frac{x^{k+1}-1}{k+1}$

看起来没啥用，但这样把右边写成了积分的形式

$=∑k=0n[xk]fi−1(x)x−1∫1xtkdt=\sum_{k=0}^n\frac{[x^k]f_{i-1}(x)}{x-1}\int_1^xt^kdt$

然后盯着这个式子：

$∑k=0n[xk]fi−1(x)∫1xtkdt\sum_{k=0}^n[x^k]f_{i-1}(x)\int_1^xt^kdt$

$t$ 可能看不习惯，换个更通用的写法：

$∑k=0n[xk]f(x)∫LRxkdx\sum_{k=0}^n[x^k]f(x) \int_L^Rx^kdx$

相当于把多项式拆成单项式，每个单项式对区间 $[L, R]$ 求定积分，最后还贴心地帮你乘上了系数

那不就是对多项式求积分吗

$∫LRf(x)dx\int_L^Rf(x)dx$

代回原式：

$fi(x)=1x−1∫1xfi−1(t)dtf_i(x)=\frac{1}{x-1}\int_1^xf_{i-1}(t)dt$

然而这个积分下界是 $1$ ，不好处理

然后又是奥妙重重的一步：

令 $g_i(x)=f_i(x+1)$

$gi(x)=1x∫1x+1fi−1(t)dtg_i(x)=\frac{1}{x}\int_1^{x+1}f_{i-1}(t)dt$

$=1x∫0xfi−1(t+1)dt=\frac{1}{x}\int_0^{x}f_{i-1}(t+1)dt$

$=1x∫0xgi−1(t)dt=\frac{1}{x}\int_0^{x}g_{i-1}(t)dt$

那就 $g_{i-1}$ 的不定积分在 $x$ 处的取值，容易得出

$gi,j=1j+1gi−1,jg_{i,j}=\frac{1}{j+1}g_{i-1,j}$

这样如果知道 $g_0$ 就可以轻松算出 $g_m$

而 $f$ 和 $g$ 直接二项式定理暴拆再卷积一下就可以互相转换，问题解决

复杂度 $O(nlog⁡n)O(n\log n)$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#define MAXN 262144
using namespace std;
const int MOD=998244353;
typedef long long ll;
inline int read()
{int ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans;
}
inline int qpow(int a,int p)
{int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD;p>>=1;}return ans;
}
#define inv(x) qpow(x,MOD-2)
inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=MOD? x+y-MOD:x+y;}
inline int dec(const int& x,const int& y){return x<y? x-y+MOD:x-y;}
int rt[2][24];
int r[MAXN],l,lim;
inline void init(){lim=1<<l;for (int i=0;i<lim;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));}
inline void NTT(int* a,int type)
{for (int i=0;i<lim;i++) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);for (int L=0;L<l;L++){int mid=1<<L,len=mid<<1;ll Wn=rt[type][L+1];for (int s=0;s<lim;s+=len)for (int k=0,w=1;k<mid;k++,w=w*Wn%MOD){int x=a[s+k],y=(ll)w*a[s+mid+k]%MOD;a[s+k]=add(x,y),a[s+mid+k]=dec(x,y);}}if (type){int t=inv(lim);for (int i=0;i<lim;i++) a[i]=(ll)a[i]*t%MOD;}
}
int fac[MAXN],finv[MAXN];
int a[MAXN];
int f[MAXN],g[MAXN];
int main()
{rt[0][23]=qpow(3,119);rt[1][23]=inv(rt[0][23]);for (int i=22;i>=0;i--){rt[0][i]=(ll)rt[0][i+1]*rt[0][i+1]%MOD;rt[1][i]=(ll)rt[1][i+1]*rt[1][i+1]%MOD;}int n=read();ll m;scanf("%lld",&m);m%=MOD-1;for (int i=0;i<=n;i++) a[i]=read();fac[0]=1;for (int i=1;i<=n;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%MOD;finv[n]=inv(fac[n]);for (int i=n-1;i>=0;i--) finv[i]=(ll)finv[i+1]*(i+1)%MOD;for (int i=0;i<=n;i++) f[i]=(ll)a[i]*fac[i]%MOD;for (int i=0;i<=n;i++) g[i]=finv[n-i];for (l=0;(1<<l)<=(n<<1);++l);init();NTT(f,0);NTT(g,0);for (int i=0;i<lim;i++) f[i]=(ll)f[i]*g[i]%MOD;NTT(f,1);for (int i=0;i<=n;i++) a[i]=(ll)f[i+n]*finv[i]%MOD;for (int i=0;i<=n;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv(qpow(i+1,m))%MOD;for (int i=0;i<=n;i++) f[i]=(ll)a[i]*fac[i]%MOD;for (int i=0;i<=n;i++) g[i]=(((n-i)&1)? MOD-finv[n-i]:finv[n-i]);for (int i=n+1;i<lim;i++) f[i]=g[i]=0;NTT(f,0);NTT(g,0);for (int i=0;i<lim;i++) f[i]=(ll)f[i]*g[i]%MOD;NTT(f,1);for (int i=0;i<=n;i++) a[i]=(ll)f[i+n]*finv[i]%MOD;for (int i=0;i<=n;i++) printf("%d ",a[i]);return 0;
}