题意：给定长度为$n$的自然数序列$a$和整数$k$，要求构造长度为$n$的自然数序列$b$，使得$0\le b_i\le a_i,\sum b_i=k$，且$\sum b_i(a_i-b_i^2)$最大化。

$n\le 10^5$

要求最大化的是$b(a-b^2)$,记为$f(x)=x(a-x^2)$

注意到$x$每增加$1$，$f(x)$会增加${\Delta }_i(x)=a_i-3x^2-3x-1$

注意到对于每个$i$,当$x\ge 0$时，${\Delta }_i(x)$单调递减，题目所求就是所有数中的前$k$大之和，而每个${\Delta }_i$被取的一定是前面若干个，所以可以套路性地维护当前的$x_i$和一个堆，每次取堆顶让对应的$x_i+1$

这样复杂度是$O(k\log n)$无法通过

但是每次加上的${\Delta }_i(x)$是单调递减的(废话)，所以可以二分最小的$d={\Delta }_i(x)$，再二分出每个${\Delta }_i$被选了多少个，判断$\sum x_i<k$

最后$\sum x_i$可能小于$k$，但每个位置最多只能$+1$,直接在当前基础上暴力选$k-\sum x_i$个

复杂度$O(n{\log }^{2}V)$

#include <iostream>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define MAXN 100005
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF=4e18;
int a[MAXN],b[MAXN],x[MAXN],p[MAXN],n;
ll k,sum;
inline ll delta(const int& a,const int& x){return x==a? -INF:a-3ll*x*x-3ll*x-1;}
inline bool cmp(int A,int B){return delta(a[A],x[A])>delta(a[B],x[B]);}
inline bool check(ll v)
{for (int i=1;i<=n;i++){if (delta(a[i],0)<v) x[i]=0;else{int l=0,r=a[i]-1,mid;while (l<r){mid=(l+r+1)>>1;if (delta(a[i],mid)<v) r=mid-1;else l=mid;}x[i]=l+1;}}sum=0;for (int i=1;i<=n;i++) sum+=x[i];if (sum>k) return false;for (int i=1;i<=n;i++) b[i]=x[i];return true;
}
int main()
{cin>>n>>k;for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);ll l=-INF,r=INF,mid,ans;while (l<r){mid=(l+r)/2;if (check(mid)) ans=mid,r=mid-1;else l=mid+1;}check(ans);for (int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;sort(p+1,p+n+1,cmp);for (int i=1;i<=k-sum;i++) ++b[p[i]];for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",b[i]);return 0;
}