题意：有好坏两种点共 $n$ 个，每个好点有权值，把这 $n$ 个点连成一棵树，一个好点为有用的当且仅当它至少与一个好点相邻，求所有有用的点的权值和不超过 $lim$ 的方案数。

$n\le 40$

这题网上的容斥方法基本都是假的……

发现至少与一个好点相邻不好处理，但只能与坏点相邻比较方便，所以大概是个容斥。

设有 $m$ 个好点， $f(k)$ 表示钦定 $k$ 个点，有用的点只能在这 $k$ 个当中选，相当于钦定其他 $m-k$ 个是没用的。（以下简称“可以有用”。）$g(k)$ 表示恰好有 $k$ 个有用的点。

那么有

$$f(k)=\sum _{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)g(i)$$

钦定 $k$ 个可以有用的点后，把所有好点和坏点连边，有用的点和坏点内部连边，就可以算出 $f$。

然后你会发现你假了。

第一，你算矩阵树只能钦定固定的 $k$ 个可以有用，而 $f$ 的定义是任意钦定，钦定这个动作本身的方案是算在其中的。

第二，因为这 $k$ 个是不固定的，你算出了 $g$ 也没法算答案……

所以必须要改下定义。

定义 $f(k)$ 为已经确定了 $k$ 个点可以有用的连边方案。也就是具体是哪 $k$ 个点已经帮你钦定好了，你只需要管连边的方案。

$g(k)$ 为已经确定恰好有 $k$ 个点有用的连边方案，具体含义同上。

先不管权值的事情，对于一个钦定可以有用的方案，建出图后考虑它的一棵生成树，把钦定的 $k$ 个点中全部连的坏点的拿出来，假设有 $i$ 个，就对应了一种 $g(i)$ 的方案。

所以式子是一样的

$$f(k)=\sum _{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)g(i)$$

二项式反演

$$g(k)=\sum _{i=0}^k(-1{)}^{k-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})f(i)$$

$f$ 因为是矩阵树算的，已经钦定好了。对于所有 $g(k)$，乘上钦定本身的方案的和就是答案。钦定本身可以折半搜索+two pointer算出。

复杂度 $O(2^{n/2}+n^4)$

顺带一提，如果是钦定没用的点，式子是长这样的

$$f(k)=\sum _{i=k}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-k}{i-k}\right)g(i)$$

而不是

$$f(k)=\sum _{i=k}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}\right)g(i)$$

原因同上

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD=1e9+7;
inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=MOD? x+y-MOD:x+y;}
inline int qpow(int a,int p)
{int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD,p>>=1;}return ans;
}
int C[45][45],n,lim,a[45],cnt[45],f[45];
vector<int> L[45],R[45];
void dfs(vector<int>* v,int cur,int pos,int k,int sum)
{if (sum>lim) return;if (cur>pos) return v[k].push_back(sum);dfs(v,cur+1,pos,k,sum);dfs(v,cur+1,pos,k+1,sum+a[cur]);
}
inline int calc(const vector<int>& a,const vector<int>& b)
{int pos=b.size(),ans=0;for (int i=0;i<(int)a.size();i++){while (pos&&a[i]+b[pos-1]>lim) --pos;ans=(ans+pos)%MOD;}return ans;
}
int g[45][45];
inline int det(int n)
{int ans=1;for (int i=1;i<n;i++) for (int j=1;j<n;j++) (g[i][j]<0)&&(g[i][j]+=MOD);for (int i=1;i<n;i++){int pos=i;for (;!g[pos][i]&&pos<n;++pos);if (pos==n) return 0;if (pos>i) swap(g[i],g[pos]),ans=MOD-ans;ans=(ll)ans*g[i][i]%MOD;for (int j=i+1;j<n;j++){int t=(ll)g[j][i]*qpow(g[i][i],MOD-2)%MOD;for (int k=i;k<n;k++) g[j][k]=(g[j][k]-(ll)t*g[i][k]%MOD+MOD)%MOD;}}return ans;
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&lim);C[0][0]=1;for (int i=1;i<=n;i++){C[i][0]=1;for (int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=add(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);}for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);sort(a+1,a+n+1);int bad=0;for (;a[bad+1]==-1;++bad);int mid=(bad+1+n)>>1;dfs(L,bad+1,mid,0,0),dfs(R,mid+1,n,0,0);int m=n-bad;for (int i=0;i<=m;i++) sort(L[i].begin(),L[i].end()),sort(R[i].begin(),R[i].end());for (int k=0;k<=m;k++){for (int i=0;i<=k;i++) cnt[k]=add(cnt[k],calc(L[i],R[k-i]));memset(g,0,sizeof(g));for (int i=1;i<=bad;i++)for (int j=1;j<i;j++){++g[i][i],++g[j][j];--g[i][j],--g[j][i];}for (int i=bad+1;i<=bad+k;i++)for (int j=1;j<i;j++){++g[i][i],++g[j][j];--g[i][j],--g[j][i];} for (int i=bad+k+1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=bad;j++){++g[i][i],++g[j][j];--g[i][j],--g[j][i];	}f[k]=det(n);}int sum=0;for (int k=0;k<=m;k++){int ans=0;for (int i=0;i<=k;i++) ans=(ans+(((i-k)&1)? -1ll:1ll)*C[k][i]*f[i])%MOD;
//		cerr<<ans<<'\n';sum=(sum+(ll)cnt[k]*ans)%MOD;}printf("%d\n",(sum+MOD)%MOD);return 0;
}