【启智树NOIP模拟】奇偶【卢卡斯定理】【背包】【bitset】

题意：给定 $n$ 个数 $a_i$ ，求选出（可以重复，考虑顺序） $M$ 个数和为 $S$ 的方案数模 $2$ 。

$n≤200,ai≤105,M,S≤1018n\leq 200,a_i\leq 10^5,M,S\leq 10^{18}$

首先给每个数分配一个出现次数 $c_i$ ,这个 $c$ 贡献的方案数为

$M!c1!c2！…cn!\frac{M!}{c_1!c_2！\dots c_n!}$

即

$(Mc1)(M−c1c2)(M−c1−c2c3)…\binom{M}{c_1}\binom{M-c_1}{c_2}\binom{M-c_1-c_2}{c_3}\dots$

写出 $M,c_i$ 的二进制，发现上式为奇数当且仅当 $c1∣c2∣c3…∣cn=Mc_1|c_2|c_3\dots|c_n=M$

证明：考虑模 $2$ 意义下的卢卡斯定理，对于组合数 $(ab)\binom{a}{b}$ ，该式为 $0$ 当且仅当二进制某个对应位置 $a$ 为 $0$ ， $b$ 为 $1$ 。也就是说，整个式子为 $1$ 当且仅当每个组合数下面都是上面的子集。通过归纳法就可以证明。

如果想找个没这么启发式的证明，可以考虑对于 $2$ 的 $ruler⁡(x)=2x−count⁡(x)\operatorname{ruler}(x)=2x-\operatorname{count}(x)$

这意味着：对于 $M$ 每一个为 $1$ 的位 $i$ ，都可以且必须选 $2^i$ 个相同的数。

所以从高到底考虑 $S$ 的每一位做个背包，设 $f (i, j)$ 表示考虑到第 $i$ 位剩下 $j$ 的空间的方案数，每枚举一位就把这个空间乘以 $2$ 加上这一位的数。因为 $a_i$ 只有 $10^5$ ，所以这个 $j$ 不用记太大，用 bitset 优化即可。

复杂度 $O(T na_i\log S /w)$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <bitset>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5;
int a[205];
bitset<N+5> f[2];
int main()
{int T;scanf("%d",&T);while (T--){ll M,S;int n;scanf("%lld%lld%d",&M,&S,&n);for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);f[0].reset(),f[1].reset();f[0].set(0);for (int d=60;d>=0;d--){f[1].reset();for (int i=0;((i<<1)|((S>>d)&1))<=N;i++) if (f[0][i]) f[1].set((i<<1)|((S>>d)&1));f[0]=f[1];if ((M>>d)&1){f[0].reset();for (int i=1;i<=n;i++) f[0]^=(f[1]>>a[i]);}		else f[0]=f[1];}cout<<f[0][0]<<'\n';}return 0;
}