acwing199.余数之和(除法分块)

思路

要计算∑i=1nk(modi)\sum _{i = 1} ^ {n}k\pmod {i}i=1nk(modi),可化简原式=n∗k−∑i=1nk/i∗i原式 = n * k - \sum _{i = 1} ^ {n} k / i * i=nki=1nk/ii,显然k/ik / ik/i是一个具有块状性质的区间,我们给定了这个块状区间的lll,就可以得到r=k/(k/l)r = k / (k / l)r=k/(k/l),由此我们开始确定这一长串块状区间的lll,显然有firstl=1first_l = 1firstl=1,由此我们可以不断地去得到所有的块状区间的左右端点。

对于所有块状区间的∑i=li=rk/i∗i\sum _{i = l} ^ {i = r} k / i * ii=li=rk/ii,显然k/ik / ik/i是一个定值,由此这个区间的和就是一个等差数列,我们可以用等差数列的求和公式轻松得到这个块状区间的和。

最后特判我们的i>ki > ki>k的情况,提前break出循环即可。

代码

/*Author : lifehappy
*/
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define endl '\n'using namespace std;typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;inline ll read() {ll f = 1, x = 0;char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1;c = getchar();}while(c >= '0' && c <= '9') {x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);c = getchar();}return f * x;
}void print(ll x) {if(x < 10) {putchar(x + 48);return ;}print(x / 10);putchar(x % 10 + 48);
}int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);// ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);int n = read(), k = read();ll ans = 1ll * n * k;for(ll l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {if(k / l == 0) break;r = min(1ll * n, k / (k / l));ans -= (k / l) * (l + r) * (r - l + 1) / 2;}printf("%lld\n", ans);return 0;
}

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