SP5971 LCMSUM - LCM Sum

思路

$$\sum _{i=1}^{n}lcm(i,n)$$

$$=>\sum _{i=1}^n\frac{in}{gcd(i,n)}$$

$$=>n\sum _{i=1}^n\frac{i}{gcd(i,n)}$$

我们按照P2303 [SDOI2012] Longge的思路枚举$gcd(i,n)$

$$=>n\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^n\frac{i}{d}(gcd(i,n)==1)$$

$$=>n\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}i(gcd(i,\frac{n}{d})==1)$$

这个式子就熟悉了${\sum }_{i=1}^{n}i(gcd(i,n)==1)=\frac{n\varphi (n)}{2}$，给定一个整数$n$小于$n$的数并且与$n$互质的数的和是这个式子，所以上式变成

$$=>=>n\sum _{d\mid n}\frac{d\varphi (d)}{2}$$

所以我们只要枚举$n$的约数就行了。

这里还存在一个问题，对于$gcd=d=1$的时候，我们统计的答案是没用贡献的，所以我们还要加上$lcm(1,n)=n$得到我们最后的答案，

这里我整体复杂度是$O(n)+T\sqrt{n}$，先用素数筛筛选出所有的$\varphi (i)$，然后再每次计算答案。

第一道自己推出来的数学题，难得啊！！！

代码

/*Author : lifehappy
*/
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
// #include <iostream>
// #include <algorithm>
// #include <stdlib.h>
// #include <cmath>
// #include <vector>
// #include <cstdio>
#include <bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define endl '\n'using namespace std;typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;inline ll read() {ll f = 1, x = 0;char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1;c = getchar();}while(c >= '0' && c <= '9') {x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);c = getchar();}return f * x;
}void print(ll x) {if(x < 10) {putchar(x + 48);return ;}print(x / 10);putchar(x % 10 + 48);
}const int N = 1e6 + 10;int eular[N], n;vector<int> prime;bool st[N];void init() {st[0] = st[1] = 1;eular[1] = 1;for(int i = 2; i < N; i++) {if(!st[i]) {prime.pb(i);eular[i] = i - 1;}for(int j = 0; j < prime.size() && i * prime[j] < N; j++) {st[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j]) {eular[i * prime[j]] = eular[i] * (prime[j] - 1);}else {eular[i * prime[j]] = eular[i] * prime[j];break;}}}
}int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);// ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);init();int T = read();while(T--) {int n = read();ll ans = 0;for(int i = 1; i * i <= n; i++) {if(n % i == 0) {ans += 1ll * i * eular[i] / 2;if(i * i != n) {ans += 1ll * n / i * eular[n / i] / 2;}}cout << ans << endl;}printf("%lld\n", 1ll * n * ans + n);}return 0;
}