传送门

题意：

你需要从$1$走到$n$，初始速度是$t$，某些地方有自行车，每个位置自行车有$p_i$的概率是坏掉的，如果自行车没坏可以骑上自行车，速度是$r$，可以一直骑着到终点。

$1\le t\le r\le 1e4,1\le n,m\le 1e5,0\le k\le 18,1\le a_i\le n,0\le p_i\le 100$

思路：

注意到$k$很小，可以选择状压一下到哪些有自行车的位置，设$f[state][j]$表示当前选择的自行车位置集合为$state$，最后一次停在$j$的时候，到终点的期望，显然我们需要倒着推，转移方程：
$$f[state][i]=min(f[state][i],(f[state|(1<<j)][j]+dis[i][a[j]]/t)\ast p[i]+dis[i][n]\ast (1-p[i])/r)$$

让后选择记忆化或者循环都可以，这个题由于有边界问题，显然选$dfs$更好写。

记忆化：

#include<bits/stdc++.h>
#define X first
#define Y second
#define L (u<<1)
#define R (u<<1|1)
#define Mid (tr[u].l+tr[u].r>>1)
#define pb push_back
using namespace std;const int N=100010,INF=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;int t,r;
int n,m,k;
vector<PII>v[N];
int dis[21][N];
int a[N],p[N];
bool st[N];void dijkstra(int s) {priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>>q;memset(st,0,sizeof(st));memset(dis[s],0x3f,sizeof(dis[s]));dis[s][a[s]]=0;q.push({0,a[s]});while(q.size()) {auto u=q.top(); q.pop();int id=u.Y;if(st[id]) continue;st[id]=1;for(auto x:v[id]) {if(dis[s][x.X]>dis[s][id]+x.Y) {dis[s][x.X]=dis[s][id]+x.Y;q.push({dis[s][x.X],x.X});}}}
}double f[1<<20][20],P[1010];
LL d[1<<20][20];double dfs(int state,int pos) {if(f[state][pos]!=-1) return f[state][pos];double tmp=P[pos]*dis[pos][n]/t+(1-P[pos])*dis[pos][n]/r;for(int i=0;i<k;i++) {if(i==pos) continue;if(state&(1<<i)) continue;tmp=min(tmp,P[pos]*(dfs(state|(1<<i),i)+1.0*dis[pos][a[i]]/t)+(1-P[pos])*dis[pos][n]/r);}return f[state][pos]=tmp;
}void solve() {scanf("%d%d%d%d",&t,&r,&n,&m);while(m--) {int a,b,c; scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);v[a].pb({b,c});v[b].pb({a,c});}scanf("%d",&k); a[k]=1; p[k]=100;for(int i=0;i<k;i++) scanf("%d%d",&a[i],&p[i]);for(int i=0;i<=k;i++) dijkstra(i);if(dis[k][n]==INF) {puts("-1");return;}for(int i=0;i<=k;i++) P[i]=1.0*p[i]/100;for(int i=0;i<1<<20;i++) for(int j=0;j<20;j++) f[i][j]=-1;printf("%.8f\n",dfs(0,k));
}int main() {int _=1;while(_--) {solve();}}

循环二进制

#include<bits/stdc++.h>
#define X first
#define Y second
#define L (u<<1)
#define R (u<<1|1)
#define Mid (tr[u].l+tr[u].r>>1)
#define pb push_back
using namespace std;const int N=100010,INF=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;int t,r;
int n,m,k;
vector<PII>v[N];
int dis[21][N];
int a[N],p[N];
bool st[N];void dijkstra(int s) {priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>>q;memset(st,0,sizeof(st));memset(dis[s],0x3f,sizeof(dis[s]));dis[s][a[s]]=0;q.push({0,a[s]});while(q.size()) {auto u=q.top(); q.pop();int id=u.Y;if(st[id]) continue;st[id]=1;for(auto x:v[id]) {if(dis[s][x.X]>dis[s][id]+x.Y) {dis[s][x.X]=dis[s][id]+x.Y;q.push({dis[s][x.X],x.X});}}}
}double f[1<<20][20],P[1010];void solve() {scanf("%d%d%d%d",&t,&r,&n,&m);while(m--) {int a,b,c; scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);v[a].pb({b,c});v[b].pb({a,c});}scanf("%d",&k); a[k]=1; p[k]=100;for(int i=0;i<k;i++) scanf("%d%d",&a[i],&p[i]);for(int i=0;i<=k;i++) dijkstra(i);if(dis[k][n]==INF) {puts("-1");return;}for(int i=0;i<=k;i++) P[i]=1.0*p[i]/100;for(int i=0;i<1<<20;i++) for(int j=0;j<20;j++) f[i][j]=1e18;for(int i=(1<<k)-1;i>=1;i--) {for(int x=0;x<k;x++) {//当前走到的点if(i&(1<<x)) {f[i][x]=(1-P[x])*dis[x][n]/r+P[x]*dis[x][n]/t;for(int y=0;y<k;y++) {//下一个要到的点if(x==y) continue;if((i&1<<y)) continue;f[i][x]=min(f[i][x],(1-P[x])*dis[x][n]/r+P[x]*(1.0*dis[x][a[y]]/t+f[i|(1<<y)][y]));}}}}double ans=1.0*dis[k][n]/t;for(int y=0;y<k;y++) {int x=1<<y,i=0;ans=min(ans,1.0*dis[k][a[y]]/t+f[i|(1<<y)][y]);}printf("%.8f\n",ans);}int main() {int _=1;while(_--) {solve();}}