C - Many Formulas

Score : $300$ points 爆搜

直接 $d f s$ 爆搜即可

复杂度 $O(2^n)$

代码

D - Snuke’s Coloring

Score : $400$ points

考虑有标记的 $3 \times 3$ 的格子很少，所以直接暴力跑这些格子即可。

复杂度 $O (n)$

代码

E - Snuke’s Subway Trip

Score : $600$ points 优化建图 + $d i j k s t r a$

经典建图了，考的 $n^2->n$ 建图的优化

考虑对每个点延伸出 $max\{ c_i\}$ 个点，编号为 $1,2,...,max\{c_i\}$ ，将这个点与延伸出的点连边，边权为 $1$ ，让后对于边 $(a, b, c)$ 我们将 $a$ 延伸出的 $c$ 号点与 $b$ 延伸出的 $c$ 号点连接，边权为 $0$ ，此时跑 $d i k s t r a$ 就是答案了。

但是细心的小伙伴就发现了，上面建图不还是 $n^2$ 吗？考虑每个点延伸出来的每个点不一定有用，所以删去没用的，剩下有用的个数就是 $O (m)$ 级别的了。

复杂度 $O (m l o g n)$

代码

F - Card Game for Three

Score : $1100$ points 组合数学 + 容斥 $d p$

将若干操作考虑成一组操作序列，合法序列应该满足如下要求： $a$ 出现恰好 $n$ 次， $b$ 出现 $≤m\le m$ ， $c$ 出现 $≤k\le k$ ，序列长度范围是 $[n, n + m + k]$ ，我们枚举当前的序列长度，然后考虑组合数学求出方案。

假设当前枚举的长度是 $i$ ，首先最后一次也就是第 $i$ 次一定是 $a$ ，让后剩下的 $n + m + k - i$ 个位置任意，就有 $3^{n+m+k-i}$ 种，所以我们需要先从 $i - 1$ 个中选 $n - 1$ 个，这个比较简单就是 $(i−1n−1)\binom{i-1}{n-1}$ ，此时剩下了 $n - i$ 个位置，我们需要将 $b, c$ 都填入这几个位置，并且他们长度都满足要求。一个比较暴力的做法就是枚举 $b$ 的长度，让后判断 $c$ 是否符合条件，总方案就是 $(i−1n−1)∗3n+m+k−i∗∑x=0m[i−n−x<=k](i−nx)\binom{i-1}{n-1}*3^{n+m+k-i}*\sum_{x=0}^{m}[i-n-x<=k]\binom{i-n}{x}$ ，但是容易发现这个复杂度是 $O(n^2)$ 的，网上有题解说像杨辉三角。。没看出来，但是不难发现我们的问题就是从 $i$ 个里面选 $x$ 个 $b$ ， $y$ 个 $c$ ，并且合法，那么定义 $f [i]$ 代表长度为 $i$ 的时候合法的数量，转移方程： $f[i]=f[i−1]∗2−(i−1m)−(i−1k)f[i]=f[i-1]*2-\binom{i-1}{m}-\binom{i-1}{k}$ ，含义是当前第 $i$ 位置可以选 $b, c$ ，这样就是 $f [i - 1] * 2$ ，但是当选 $b$ 的时候如果 $i - 1$ 个位置里面有 $m$ 个位置是 $b$ ，那么就是不合法的需要减去，对于 $c$ 同理。预处理出来之后答案就很好算了， $i$ 位置的总方案就是 $(i−1n−1)∗3n+m+k−i∗f[i−n]\binom{i-1}{n-1}*3^{n+m+k-i}*f[i-n]$