【模板】传递闭包

题目描述

给定一张点数为 $n$ 的有向图的邻接矩阵，图中不包含自环，求该有向图的传递闭包。

一张图的邻接矩阵定义为一个 $n\times n$ 的矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，其中

$$a_{ij}=\{\begin{array}{r}1,i到j存在直接连边\\ 0,i到j没有直接连边\end{array}$$

一张图的传递闭包定义为一个 $n\times n$ 的矩阵 $B=(b_{ij}{)}_{n\times n}$，其中

$$b_{ij}=\{\begin{array}{r}1,i可以直接或间接到达j\\ 0,i无法直接或间接到达j\end{array}$$

输入格式

输入数据共 $n+1$ 行。

第一行一个正整数 $n$。

第 $2$ 到 $n+1$ 行每行 $n$ 个整数，第 $i+1$ 行第 $j$ 列的整数为 $a_{ij}$。

输出格式

输出数据共 $n$ 行。

第 $1$ 到 $n$ 行每行 $n$ 个整数，第 $i$ 行第 $j$ 列的整数为 $b_{ij}$。

样例 #1

样例输入 #1

4
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0

样例输出 #1

1 1 0 1
1 1 0 1
1 1 0 1
1 1 0 1

提示

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 100$，保证 a i j ∈ { 0 , 1 } a_{ij}\in\{0,1\} aij​∈{0,1} 且 $a_{ii}=0$。

---

思路

首先读取输入的点数n，并定义一个二维布尔数组a[N][N]来存储邻接矩阵。

接着，通过两层循环读取邻接矩阵的数据。这里的a[i][j]表示从点i到点j是否存在直接连边。

之后，利用Floyd-Warshall算法来求解传递闭包。这个算法的基本思想是：对于每一个点k，检查所有的点对(i, j)，如果点i可以到达点k，并且点k可以到达点j，那么就可以认为点i可以到达点j。因此有a[i][j] |= (a[i][k] & a[k][j])。

最后，再次通过两层循环输出更新后的邻接矩阵，即传递闭包。

---

AC代码

#include <iostream>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;const int N = 1e3 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;ll n;
bool a[N][N];int main() {ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {cin >> a[i][j];}}for (int k = 1; k <= n; k++) {for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {a[i][j] |= (a[i][k] & a[k][j]);}}}for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {cout << a[i][j] << " ";}cout << "\n";}return 0;
}