【归并排序】【图论】【动态规划】【深度游戏搜索】1569将子数组重新排序得到同一个二叉搜索树的方案数

本文涉及知识点

动态规划汇总
图论深度游戏搜索归并排序组合

LeetCoce1569将子数组重新排序得到同一个二叉搜索树的方案数

给你一个数组 nums 表示 1 到 n 的一个排列。我们按照元素在 nums 中的顺序依次插入一个初始为空的二叉搜索树（BST）。请你统计将 nums 重新排序后，统计满足如下条件的方案数：重排后得到的二叉搜索树与 nums 原本数字顺序得到的二叉搜索树相同。
比方说，给你 nums = [2,1,3]，我们得到一棵 2 为根，1 为左孩子，3 为右孩子的树。数组 [2,3,1] 也能得到相同的 BST，但 [3,2,1] 会得到一棵不同的 BST 。
请你返回重排 nums 后，与原数组 nums 得到相同二叉搜索树的方案数。
由于答案可能会很大，请将结果对 10^9 + 7 取余数。
示例 1：
输入：nums = [2,1,3]
输出：1
解释：我们将 nums 重排， [2,3,1] 能得到相同的 BST 。没有其他得到相同 BST 的方案了。
示例 2：
输入：nums = [3,4,5,1,2]
输出：5
解释：下面 5 个数组会得到相同的 BST：
[3,1,2,4,5]
[3,1,4,2,5]
[3,1,4,5,2]
[3,4,1,2,5]
[3,4,1,5,2]
示例 3：
输入：nums = [1,2,3]
输出：0
解释：没有别的排列顺序能得到相同的 BST 。
提示：
1 <= nums.length <= 1000
1 <= nums[i] <= nums.length
nums 中所有数互不相同。

归并排序

原以为必须用归并排序的思想，其实可以不用归并排序。

原理

对每棵树（子树），只讨论左子树和右子树之间的顺序，不讨论子树内部的顺序。
a，根节点必定是第一个。
b，混略内部顺序后，左子树的节点完全相同，假定其为ln个；右子树的节点也相同，假定其为rn个。就是组合 $\Large C_{m+n}^n$
DFS 各子树的结果相乘。

动态规划的状态表示

每个子树的范围是确定，比如：根节点的范围为[1,n]，左子树[1,nums[0]-1] 右子树[nums[0],n]。每根子树，需要三个子状态：最小值(iMin)，最大值(iMax)，根节点的值(nums[iRoot])。由于1到n，都出现且只出现一次，所以此子树的节点数为：最大值-最小值+1。

动态规划的转移方程

左树：iMin,nums[iRoot]-1, nums(iRoot…]中第一个在左树范围的小标。
右树:,nums[iRoot]+1,iMax,nums(iRoot…]中第一个在右树范围的小标。

动态规划的填表顺

深度优先，从根节点开始。

动态规划的返回值

dfs(1,n,0)-1。

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD){}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o){return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(long long n)const{C1097Int iRet = 1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}int ToInt()const{return m_iData;}
private:int m_iData = 0;;
};template<class Result = C1097Int<> >
class CCombination
{
public:CCombination(){m_v.assign(1, vector<Result>(1,1));}Result Get(int sel, int total){while (m_v.size() <= total){int iSize = m_v.size();m_v.emplace_back(iSize + 1, 1);for (int i = 1; i < iSize; i++){m_v[iSize][i] = m_v[iSize - 1][i] + m_v[iSize - 1][i - 1];}}return m_v[total][sel];}
protected:vector<vector<Result>> m_v;
};class Solution {
public:int numOfWays(vector<int>& nums) {m_nums = nums;return (DFS(1, nums.size(), 0) - 1).ToInt();}C1097Int<> DFS(int iMin, int iMax, int iRoot){int iLeftRoot = -1, iRightRoot = -1;for (int i = (int)m_nums.size()-1; i > iRoot; i--){if ((m_nums[i] < m_nums[iRoot])&&(m_nums[i] >= iMin )){iLeftRoot = i;}if ((m_nums[i] > m_nums[iRoot])&& (m_nums[i] <= iMax)){iRightRoot = i;}}C1097Int<> biRet = m_com.Get(m_nums[iRoot]-iMin,iMax-iMin);if (-1 != iLeftRoot){biRet *= DFS(iMin, m_nums[iRoot] - 1, iLeftRoot);}if (-1 != iRightRoot){biRet *= DFS(m_nums[iRoot] + 1,iMax, iRightRoot);}return biRet;}vector<int> m_nums;CCombination<> m_com;
};

2023年6月

class Solution {
public:
int numOfWays(vector& nums) {
m_vFact.emplace_back(1);
for (int i = 1; i < nums.size(); i++)
{
m_vFact.emplace_back(m_vFact.back()*i);
}
for (const auto& i : m_vFact )
{
m_vRevFact.emplace_back(i.PowNegative1());
}
return (Rev(nums) - 1).ToInt();
}
C1097Int<> Rev(vector& nums)
{
if (0 == nums.size())
{
return 1;
}
vector vLeft, vRight;
for (int i = 1; i < nums.size(); i++)
{
const int& n = nums[i];
if (n < nums[0])
{
vLeft.emplace_back(n);
}
else
{
vRight.emplace_back(n);
}
}
C1097Int<> iRet = m_vFact[vLeft.size() + vRight.size()] * m_vRevFact[vLeft.size()] * m_vRevFact[vRight.size()];
return iRet * Rev(vLeft) * Rev(vRight);
}
vector<C1097Int<>> m_vFact, m_vRevFact;
};

扩展阅读

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