【数值分析】高斯型求积公式，任意区间三点gauss求积公式，matlab实现

Gauss型求积公式

Gauss型求积公式定义
$\int_{ a }^{b} \rho(x)f(x) \mathrm dx \approx \sum_{i=1}^{ n}A_if(x_i)$
如果求积公式具有 ${2n-1}$ 次代数精度，则称对应的节点 ${x_1,x_2,\cdots ,x_n}$ 为Gauss点，此时求积公式称为Gauss型求积公式。
为了讨论方便，本节取 ${n}$ 个节点，并记节点为 ${x_1,x_2,\cdots x_n}$ ，从 ${1}$ 开始取！同时，所讨论的积分均为带有权函数 ${\rho(x)}$ 的积分。
插值型求积公式
$\int_{ a }^{b} \rho(x)f(x) \mathrm dx \approx \sum_{i=1}^{ n}A_if(x_i)$
的代数精度最高不超过 ${2n-1}$ ，且达到 ${2n-1}$ 时，所有求积系数为正。所以高斯公式是给定节点数下代数精度最高的求积公式。

构造Gauss型求积公式的步骤

对给定区间 ${[a,b]}$ 及权函数 ${\rho(x)}$ ，由Schmidt正交化过程构造正交多项式 ${P_0(x),P_1(x), \cdots ,P_n(x)}$
求出 ${P_n(x)}$ 的 ${n}$ 个零点 $x_1,x_2, \cdots, x_n}$ 即为Gauss点
计算求积系数 ${A_i= \int_{ a }^{b} \rho(x)l_i(x) \mathrm dx }$ ， $i=1,2,\cdots,n }$ ， ${l_i}$ 为拉格朗日基函数

[!example]-
求计算积分 $\int_{ -1 }^{1} x^2f(x) \mathrm dx}$ 的两点Gauss公式。
解：
$\rho(x)=x^2, n=2$
首先按Schmidt正交化求出正交多项式：
$\begin{align*} P_0(x)=&1 \\ \\ P_1(x)=&x- \frac{(x,P_0(x))}{(P_0(x),P_0(x))}P_0(x)=x- \frac{\int_{ -1 }^{1} x^3 \mathrm dx}{\int_{ -1 }^{1} x^2 \mathrm dx}=x \\ \\ P_2(x)=&x^2- \frac{(x^2,P_0(x))}{(P_0(x),P_0(x))}P_0(x)-\frac{(x^2,P_1(x))}{(P_1(x),P_1(x))}P_1(x) \\ \\ =&x^2- \frac{\int_{ -1 }^{1} x^4 \mathrm dx}{\int_{ -1 }^{1} x^2 \mathrm dx}- \frac{\int_{ -1 }^{1} x^5 \mathrm dx}{\int_{ -1 }^{1} x^4 \mathrm dx}x=x^2- \frac{3}{5} \end{align*}$
再令 ${P_2(x)=0}$ 求出Gauss点：
$x_1=-\sqrt{\frac{3}{5}} \,\,,\,\, x_2=\sqrt{\frac{3}{5}}$
最后计算求积系数：
$\begin{align*} A_1=& \int_{ -1 }^{1} x^2l_1(x) \mathrm dx= \int_{ -1 }^{1} x^2 \frac{x-x_2}{x_1-x_2} \mathrm dx= \frac{1}{3}\\ \\ A_2=& \int_{ -1 }^{1} x^2l_2(X) \mathrm dx= \int_{ -1 }^{1} x^2 \frac{x-x_1}{x_1-x_2} \mathrm dx= \frac{1}{3} \end{align*}$
所以两点Gauss公式为
$\int_{ -1 }^{1} x^2f(x) \mathrm dx \approx \frac{1}{3}[f(- \sqrt{\frac{3}{5}})+f(\sqrt{\frac{3}{5}})]$

4.1 Gauss-legendre勒让德求积公式

区间 ${[-1,1]}$ ，权函数 ${\rho(x)=1}$ 。
Gauss求积公式中在区间 ${[-1,1]}$ 上权函数为 ${1}$ 的Gauss点其实是确定的，所以可以通过把待求区间伸缩变换到 ${[-1,1]}$ 间，再通过Gauss求积公式求解。
一点Gauss求积公式
$\int_{ -1 }^{1} f(x) \mathrm dx \approx 2f(0)$
两点Gauss求积公式
$\int_{ -1 }^{1} f(x) \mathrm dx \approx f(- \frac{1}{\sqrt{3}})+f(\frac{1}{\sqrt{3}})$
三点Gauss求积公式
$\int_{ -1 }^{1} f(x) \mathrm dx \approx \frac{5}{9} f(- \sqrt{\frac{3}{5}})+ \frac{8}{9}f(0) +\frac{5}{9}f(\sqrt{\frac{3}{5}})$
任意区间的三点高斯求积公式：
$\int_{ a }^{b} f(x) \mathrm dx \approx \frac{(b-a)}{2} \bigg( \frac{5}{9} f(\frac{(a+b)}{2} - \sqrt{\frac{3}{5}}\frac{(b-a)}{2})+ \frac{8}{9}f(\frac{(a+b)}{2}) +\frac{5}{9}f(\frac{(a+b)}{2} + \sqrt{\frac{3}{5}}\frac{(b-a)}{2}) \bigg)$
matlab实现

%% 三点高斯勒让德求积公式
% 输入函数，积分上界，积分下界
function I = gaussL3P(f,a,b)x = (a+b)/2+(b-a)/2*[-sqrt(0.6) 0 sqrt(0.6)];I = (b-a)/2*f(x)*[5 8 5]'/9;
end

四点Gauss求积公式
$高斯点:\pm0.8611363 \,\,,\,\, 高斯系数:0.3478548$
$高斯点:\pm0.3399810 \,\,,\,\, 高斯系数:0.6521452$

[!example]-
已知三点Gauss公式
$\int_{ -1 }^{1} f(x) \mathrm dx \approx \frac{5}{9}f(\sqrt{0.6})+ \frac{8}{9}f(0)+ \frac{5}{9}f(- \sqrt{0.6})$
试用如上公式计算 $\int_{ 0.5 }^{1} \sqrt{x} \mathrm dx}$ 的值。
解：换限，设
$t = a x + b$
$\begin{cases} 0.5a+b=-1 \\ \\ a+b=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=4 \\ \\ b=-3 \end{cases}$
$\begin{align*} \int_{ 0.5 }^{1} f(x) \mathrm dx=& \frac{1}{4} \int_{ -1 }^{1} f(\frac{t+3}{4}) \mathrm dt \\ \\ \approx& \frac{1}{4}[\frac{5}{9} f(\frac{\sqrt{0.6}+3}{4})+ \frac{8}{9}f(\frac{0+3}{4}) + \frac{5}{9}f(\frac{- \sqrt{0.6}+3}{4}) ] \\ \\ =&\frac{1}{4}[\frac{5}{9} \sqrt{\frac{\sqrt{0.6}+3}{4}}+ \frac{8}{9}\sqrt{\frac{0+3}{4}} + \frac{5}{9}\sqrt{\frac{- \sqrt{0.6}+3}{4}} ] \\ \\ =&0.4310 \end{align*}$

4.2 变形的Gauss型求积公式

Gauss-Laguerre拉盖尔求积公式
区间 ${[0,+\infty)}$ ，权函数 ${\rho(x)=e^{-x}}$
Gauss-Hermite求积公式
两点Gauss-Hermite求积公式
$\int_{ -\infty }^{+\infty} e^{-x^2}f(x) \mathrm dx \approx \frac{\sqrt{\pi}}{2} f(-\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{\sqrt{\pi}}{2} f(\frac{\sqrt{2}}{2})$
三点Gauss-Hermite求积公式
$\int_{ -\infty }^{+\infty} e^{-x^2}f(x) \mathrm dx \approx \frac{\sqrt{\pi}}{6} f(-\frac{\sqrt{6}}{2})+ \frac{2 \sqrt{\pi}}{3} f(0)+\frac{\sqrt{\pi}}{6} f(\frac{\sqrt{6}}{2})$