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【youcans 的 OpenCV 例程200篇】236. 特征提取之主成分分析（OpenCV）

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【youcans 的 OpenCV 例程200篇】236. 特征提取之主成分分析（OpenCV）
- 5.2 主成分分析的数学方法
- - 5.4 OpenCV 的主成分分析方法
  - 例程 14.17：特征描述之主成分分析（OpenCV）

特征提取是指从原始特征中通过数学变换得到一组新的特征，以降低特征维数，消除相关性，减少无用信息。

特征提取分为线性映射方法和非线性映射方法。

5.2 主成分分析的数学方法

主成分分析（Principal Components Analysis，PCA）是一种基于统计的数据降维方法，又称主元素分析、主分量分析。主成分分析只需要特征值分解，就可以对数据进行压缩、去噪，应用非常广泛。

众多原始变量之间往往具有一定的相关关系。这意味着相关变量所反映的信息有一定程度的重叠，因此可以用较少的综合指标聚合、反映众多原始变量所包含的全部信息或主要信息。主成分分析方法研究特征变量之间的相关性、相似性，将一组相关性高的高维变量转换为一组彼此独立、互不相关的低维变量，从而降低数据的维数。

主成分分析方法的思想是，将高维特征（p维）映射到低维空间（k维）上，新的低维特征是在原有的高维特征基础上通过线性组合而重构的，并具有相互正交的特性，称为主成分特性。

通过正交变换构造彼此正交的新的特征向量，这些特征向量组成了新的特征空间。将特征向量按特征值排序后，样本数据集中所包含的全部方差，大部分就包含在前几个特征向量中，其后的特征向量所含的方差很小。因此，可以只保留前 k个特征向量，而忽略其它的特征向量，实现对数据特征的降维处理。

主成分分析的基本步骤是：对原始数据归一化处理后求协方差矩阵，再对协方差矩阵求特征向量和特征值；对特征向量按特征值大小排序后，依次选取特征向量，直到选择的特征向量的方差占比满足要求为止。

主成分分析方法得到的主成分变量具有几个特点：（1）每个主成分变量都是原始变量的线性组合；（2）主成分的数目大大少于原始变量的数目；（3）主成分保留了原始变量的绝大多数信息；（4）各主成分变量之间彼此相互独立。

算法的基本流程如下：

（1）归一化处理，数据减去平均值；
（2）通过特征值分解，计算协方差矩阵；
（3）计算协方差矩阵的特征值和特征向量；
（4）将特征值从大到小排序；
（5）依次选取特征值最大的 k个特征向量作为主成分，直到其累计方差贡献率达到要求；
（6）将原始数据映射到选取的主成分空间，得到降维后的数据。

在图像处理中，把每幅二维图像拉伸为一维向量，即展平为一维数组。一组 m 幅图像就构造为一个 m 维向量，使用 Karhunen-Loève transform（KLT）变换得到变换矩阵，选取特征值最大的 k个特征向量作为主成分，从而实现特征降维。

图像压缩过程是把一组原始图像变换成低维向量的过程，图像重建就是由低维向量变换重建图像组的过程。使用主成分分析进行图像压缩和重建会有少量信息损失，但可以把损失控制到很小。

5.4 OpenCV 的主成分分析方法

OpenCV 中提供了主成分分析（Principal Components Analysis，PCA）方法的实现，即 cv::PCA 类。类的声明在 include/opencv2/core.hpp 文件中，类的实现在 modules/core/src/pca.cpp 文件中。

成员函数：
- PCA::PCA：默认构造并初始化一个空的 PCA 结构
- PCA::backproject：将数据从 PCA 空间投影回原始空间，重建原始数据
- PCA::operator()：对提供的数据执行主成分分析操作
- PCA::project：将输入数据投影到 PCA 特征空间；
- PCA::read：从指定文件读入特征值、特征向量和均值；
- PCA::write：向指定文件写入特征值、特征向量和均值；
属性：
- PCA::eigenvalues：协方差矩阵的特征值
- PCA::eigenvectors：协方差矩阵的特征向量
- PCA::mean：均值，投影前减去均值，投影后加上均值

PCA 类使用 Karhunen-Loeve 变换，由协方差矩阵的特征向量计算得到一组向量的正交基。

在 Python 语言中，OpenCV 提供了 PCA 类的接口函数 cv.PCACompute()，cv.PCAProject() 和 cv.PCABackProject()。

函数说明：

cv.PCACompute(data, mean[, eigenvectors=None, maxComponents=0]) → mean, eigenvectors
cv.PCACompute(data, mean, retainedVariance[, eigenvectors=None]) → mean, eigenvectors
cv.PCACompute2(data, mean[, eigenvectors=None, eigenvalues=None, maxComponents=0]) → mean, eigenvectors, eigenvalues
cv.PCACompute2(data, mean, retainedVariance[, eigenvectors=None, eigenvalues=None]) → mean, eigenvectors, eigenvaluescv.PCAProject(data, mean, eigenvectors[, result=None]) → result
cv.PCABackProject(data, mean, eigenvectors[, result=None]) → result

函数 cv.PCACompute 是 PCA::operator 的接口，用于对提供的数据执行主成分分析操作，返回均值、特征向量和特征值。

函数 **cv.PCAProject ** 是 PCA::project 的接口，用于将输入数据按选择的特征向量投影到 PCA 特征空间。

函数 cv.PCABackProject 是 PCA::backproject 的接口，用于将输入数据按选择的特征向量投影从 PCA 空间投影回原始空间，重建原始数据。

参数说明：

data：输入数据矩阵，对于 cv.PCACompute 和 PCAProject 是 m×P 原始数据矩阵，对于 PCABackProject 是 m×K 降维数据矩阵 $\le P)$
mean：均值，形状为 (1,P)，如果该参数的输入为空，则通过输入数据计算均值
maxComponents：保留主成分的个数，默认为保留全部主成份
retainedVariance：保留的累计方差的百分比，据此确定保留主成分的个数（至少保留 2个主成分）
eigenvectors：特征向量，全部特征向量的形状为 (P,P)，前 K 个特征向量的形状为 (K,P)
eigenvalues：特征值，全部特征向量的形状为 (P,1)，前 K 个特征向量的形状为 (K,1)

注意事项：

输入参数中的 mean 如果为空，其格式为 np.empty((0)) 或 np.array([])。
OpenCV-Python-PCA 是 C 语言版本 PCA 类的接口，有些变量/参数的格式有些不方便。网络上关于 OpenCV-Python-PCA 的很多博文（可能）也有问题（错误），请读者务必注意。

例程 14.17：特征描述之主成分分析（OpenCV）

本例程的图像来自 R.C.Gonzalez 《数字图像处理（第四版）》P622 例11.16。本例的目的是说明如何使用主分量作为图像特征。

    # 14.17 特征描述之主成分分析 (OpenCV)# 读取光谱图像组img = cv2.imread("../images/Fig1138a.tif", flags=0)height, width = img.shape[:2]  # (564, 564)nBands = 6  # 光谱波段种类snBands = ['a','b','c','d','e','f']  # Fig1138a~fimgMulti = np.zeros((height, width, nBands))  # (564, 564, 6)Xmat = np.zeros((img.size, nBands))  # (318096, 6)print(imgMulti.shape, Xmat.shape)# 显示光谱图像组# fig1 = plt.figure(figsize=(9, 6))  # 原始图像，6 个不同波段# fig1.suptitle("Spectral image of multi bands by NASA")for i in range(nBands):path = "../images/Fig1138{}.tif".format(snBands[i])imgMulti[:,:,i] = cv2.imread(path, flags=0)  # 灰度图像#     ax1 = fig1.add_subplot(2,3,i+1)#     ax1.set_xticks([]), ax1.set_yticks([])#     ax1.imshow(imgMulti[:,:,i], 'gray')  # 绘制光谱图像 snBands[i]# plt.tight_layout()# 主成分分析 (principal component analysis)m, p = Xmat.shape  # m：训练集样本数量，p：特征维度数Xmat = np.reshape(imgMulti, (-1, nBands))  # (564,564,6) -> (318096,6)mean, eigenvectors, eigenvalues = cv2.PCACompute2(Xmat, np.empty((0)), retainedVariance=0.98)  # retainedVariance=0.95# mean, eigenvectors, eigenvalues = cv2.PCACompute2(Xmat, np.empty((0)), maxComponents=3)  maxComponents=3print(mean.shape, eigenvectors.shape, eigenvalues.shape)  # (1, 6) (3, 6) (3, 1)eigenvalues = np.squeeze(eigenvalues)  # 删除维度为1的数组维度，(3,1)->(3,)# 保留的主成分数量K = eigenvectors.shape[0]  # 主成分方差贡献率 95% 时的特征维数 K=3print("number of samples: m=", m)  # 样本集的样本数量 m=318096print("number of features: p=", p)  # 样本集的特征维数 p=6print("number of PCA features: k=", K)  # 降维后的特征维数，主成分个数 k=3print("mean:", mean.round(4))  # 均值print("topK eigenvalues:\n", eigenvalues.round(4))  # 特征值，从大到小print("topK eigenvectors:\n", eigenvectors.round(4))  # (3, 6)# 压缩图像特征，将输入数据按主成分特征向量投影到 PCA 特征空间mbMatPCA = cv2.PCAProject(Xmat, mean, eigenvectors)  # (318096, 6)->(318096, K=3)# 显示主成分变换图像fig2 = plt.figure(figsize=(9, 6))  # 主元素图像fig2.suptitle("Principal component images")for i in range(K):pca = mbMatPCA[:, i].reshape(-1, img.shape[1])  # 主元素图像 (564, 564)imgPCA = cv2.normalize(pca, (height, width), 0, 255,  cv2.NORM_MINMAX)ax2 = fig2.add_subplot(2,3,i+1)ax2.set_xticks([]), ax2.set_yticks([])ax2.imshow(imgPCA, 'gray')  # 绘制主成分图像plt.tight_layout()# # 由主成分分析重建图像reconMat = cv2.PCABackProject(mbMatPCA, mean, eigenvectors)  # (318096, K=3)->(318096, 6)fig3 = plt.figure(figsize=(9, 6))  # 重建图像，6 个不同波段fig3.suptitle("Rebuild images of multi bands by OpenCV")rebuild = np.zeros((height, width, nBands))  # (564, 564, 6)for i in range(nBands):rebuild = reconMat[:, i].reshape(-1, img.shape[1])   # 主元素图像 (564, 564)# rebuild = np.uint8(cv2.normalize(rebuild, (height, width), 0, 255,  cv2.NORM_MINMAX))ax3 = fig3.add_subplot(2,3,i+1)ax3.set_xticks([]), ax3.set_yticks([])ax3.imshow(rebuild, 'gray')  # 绘制光谱图像 snBands[i]plt.tight_layout()plt.show()

运行结果：

(564, 564, 6) (318096, 6)
(1, 6) (3, 6) (3, 1)
number of samples: m= 318096
number of features: p= 6
number of PCA features: k= 3
mean: [[ 61.9724 67.5084 62.1467 146.1866 134.4214 111.4343]]
topK eigenvalues:
[10344.2723 2965.8884 1400.6306]
topK eigenvectors:
[[ 0.489 0.4777 0.4899 -0.1375 0.2188 0.4753]
[-0.0124 0.0394 -0.022 0.7986 0.5981 -0.0486]
[-0.2301 -0.3012 -0.315 0.0431 0.0165 0.8689]]

在这里插入图片描述

【本节完】

版权声明：
本例程的图像来自 R.C.Gonzalez 《数字图像处理（第四版）》P622 例11.16。
youcans@xupt 原创作品，转载必须标注原文链接：(https://blog.csdn.net/youcans/article/details/125782192)
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234. 特征提取之主成分分析（PCA）
235. 特征提取之主成分分析（sklearn）
236. 特征提取之主成分分析（OpenCV）