文章目录

一、本次问题

1.利用第一天所学知识求解：

2.本题理解：

（1）分支界定法

背景：

基本理论（解题步骤）：

求解实现1：

1.第一步

2.第二步

3.第三步

4.第四步

结论：综上，最优解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最优值：340

求解实现2：

结果2：最优解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最优值：340

求解实现3：

结果3：最优解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最优值：340

总结：

一、本次问题

1.利用第一天所学知识求解：

建模学习打卡第一天_菜菜笨小孩的博客-CSDN博客

$x1 = 4.8092, x2 = 1.8168,z = 355.8779$

代码如下：

%打卡第一天
clear all
clc
c=[40 90];%用目标函数系数来确定
a=[9 7 ;7 20];%不等式约束条件左边约束
b=[56 70];%不等式约束条件右边系数
aeq=[];%没有等式约束，因此aeq,beq都为空
beq=[];
lb=[0;0];%没有下限
ub=[inf;inf];%没有上限
[x,fval]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);
x  %获取对应x1,x2
best=c*x%计算最优值

2.本题理解：

由于问题要求求解结果都为整数，所以第一问结果错误，那么我们该如何求得想要得整数解呢？

（1）分支界定法

背景：

今天利用matlab来实现求解完全整数规划问题的分支定界法。这里求解的模型为目标函数最小化模型:

基本理论（解题步骤）：

分支定界法：用以求解整数规划问题的一种方法。
求解步骤：
首先我们规定求解的整数规划问题为A，相应的线性规划问题为B

对问题B进行求解
1. 若B无可行解，则A也无可行解，停止计算
2. 若B有最优解，且符合整数条件，该最优解为A的最优解，停止计算
3. 若B有最优解，但不符合整数条件，记它的目标函数值为z*，作为最优值的下界
找出问题A的一个整数可行解，其目标函数值作为最优解的上界
进行迭代
1. 分支，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量x j x_jxj，其值为b j b_jbj，构造两个约束条件，，分别加入到问题B中，形成两个子问题B1、B2。不考虑整数条件求解这两个子问题。即分支
2. 定界。对每个后继问题表明其求解的结果，与其他问题进行比较，将最优目标函数值最小者（不包括问题B）作为新的下界，在已符合整数条件的各分支中，找出目标函数值最小者作为新的上界。
3. 剪枝，将目标函数值不在上界、下界中的分支剪去
4. 重复1 2 3，直到得到最优解
  注意事项：在对两分支进行分解时，优先选择目标函数值最小的分支进行分解。

分支定界法中，通过定界进而进行剪枝，对分支进行了筛选，使我们仅在一部分可行解中寻求最优解，而不是全部穷举出来再寻找，其求解效率更高。

求解实现1：

linprog函数及其参数的意义请看建模学习打卡第一天_菜菜笨小孩的博客-CSDN博客

简单介绍下，首先MATLAB中求解的是目标函数是最小值的问题，但如果我们的目标函数是求最大值，可以通过对目标函数中每一项中乘以-1，将求最大值问题转化为求最小值问题；A，b分别为不等式约束中的系数矩阵。Aeq和beq分别为等式约束中的系数矩阵，lb，和ub分别为每个变量的上下区间；最后c为目标函数中各变量的系数矩阵。

1.第一步

根据上面给出的结果，知道结果不符合题意。

于是我们可以暂定z的上限（最大值）为356，又因为当x1，x2全为0时，z也为0，所以可以暂定z的范围为 0<= z <= 356；并且将对x1值的范围两种情况定为问题A和问题B，并分别为枝干求解

2.第二步

首先，我们对A问题进行分支，改变x1的约束条件，不改变x2的约束条件，即对x1分支得两个子集

x1 =<[4.8092] = 4 ， x1 >= [4.8092] +1 = 5

约束条件变为：

9*x1+7*x2<=56
7*x1+20*x2<=70
0<x1<4或x1>5  x2>0

先对0<x1<4求解 代码如下：

clc
clear allc=[40 90];%用目标函数系数来确定
a=[9 7 ;7 20];%约束条件左边约束
b=[56 70];%约束条件右边系数aeq=[];%没有等式约束，因此aeq,beq都为空
beq=[];lb=[0;0];%下限依然都为0
ub=[4;inf];%x1上限为4，x2没有上限[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);  %这里没有等式约束，对应的矩阵为空矩阵
x    %获取对应x1,x2
best=c*x%计算最优值

结果为：此时的最优解 x1=4 , x2=2.1 ; 最优值为 349。也不符合题意，所以舍

再对 x1 > 5求解 代码如下：

clc
clear allc=[40 90];%用目标函数系数来确定
a=[9 7 ;7 20];%约束条件左边约束
b=[56 70];%约束条件右边系数aeq=[];%没有等式约束，因此aeq,beq都为空
beq=[];lb=[5;0];% x1的下限变成5，x2下限依然都为0
ub=[inf;inf];%x1，x2没有上限
1
[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);  %这里没有等式约束，对应的矩阵为空矩阵
x    %获取对应x1,x2
best=c*x%计算最优值

结果为：此时的最优解 x1=5 , x2=1.5714 ; 最优值为 341.4286。也不符合题意，所以舍

3.第三步

通过第二部对问题A的分支，我们可以进一步暂定 z 的范围为 0<= z <= 249，又因为第二步中只有x2的为小数，因此我们也就对问题B x2的范围进行限定为 (同上) ：

0=<x2<[2.1]=2,x2>[2.1]+1=3

此时约束条件：

9*x1+7*x2<=56
7*x1+20*x2<=70
0<=x1<=4  2>x2>0 或 x2>3

先对约束条件 0<=x1<=4,0<=x2<=2求解 代码如下：

clc
clear allc=[40 90];%用目标函数系数来确定
a=[9 7 ;7 20];%约束条件左边约束
b=[56 70];%约束条件右边系数aeq=[];%没有等式约束，因此aeq,beq都为空
beq=[];lb=[0;0];%下限依然都为0
ub=[4;2];%x1上限为4，x2上限为2[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);  %这里没有等式约束，对应的矩阵为空矩阵
x    %获取对应x1,x2
best=c*x%计算最优值

结果：此时的最优解 x1=4 , x2=2 ; 最优值为 340。符合题意，所以暂时留着

再对约束条件 0<=x1<=4,x2>=3求解 代码如下：

clc
clear allc=[40 90];%用目标函数系数来确定
a=[9 7 ;7 20];%约束条件左边约束
b=[56 70];%约束条件右边系数aeq=[];%没有等式约束，因此aeq,beq都为空
beq=[];lb=[0;3];% x1下限依然都为0，x2下限为3
ub=[4;inf];%x1上限为4，x2无上限[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);  %这里没有等式约束，对应的矩阵为空矩阵
x    %获取对应x1,x2
best=c*x%计算最优值

结果:此时的最优解 x1=1.4286 , x2=3 ; 最优值为 327.1429。不符合题意，所以舍

4.第四步

通过上前的，我们可以进一步确定z的范围：0<= z <=241,此时我们已对问题A完成了完美分支，接下来我需对问题B再进行分支

根据上面的结果，x2=1.5714为小数，因此我们对B中的x2进行分支。

0=<x2<[1.5714]=1,x2>[1.5714]+1=2

此时条件约束：

9*x1+7*x2<=56
7*x1+20*x2<=70
x1>=5  1>x2>0 或 x2>2

先对x1>=5，1>x2>0求解，代码如下：

clc
clear allc=[40 90];%用目标函数系数来确定
a=[9 7 ;7 20];%约束条件左边约束
b=[56 70];%约束条件右边系数aeq=[];%没有等式约束，因此aeq,beq都为空
beq=[];lb=[5;0];% x1下限为5，x2下限为0
ub=[inf;1];%x1无上限，x2上限为1[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);  %这里没有等式约束，对应的矩阵为空矩阵
x    %获取对应x1,x2
best=c*x%计算最优值

结果为：此时的最优解 x1=5.4444 , x2=1 ; 最优值为 307.7778。不符合题意，所以舍

再对x1>=5，x2>2求解，代码如下：

clc
clear allc=[40 90];%用目标函数系数来确定
a=[9 7 ;7 20];%约束条件左边约束
b=[56 70];%约束条件右边系数aeq=[];%没有等式约束，因此aeq,beq都为空
beq=[];lb=[5;2];% x1下限为5，x2下限为2
ub=[inf;inf];%x1无上限，x2无上限[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);  %这里没有等式约束，对应的矩阵为空矩阵
x    %获取对应x1,x2
best=c*x%计算最优值

结果：此时无解

结论：综上，最优解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最优值：340

至于结果为负是因为matlab求解线性规划转化为求最小值

求解实现2：

linprog函数及其参数的意义请看建模学习打卡第一天_菜菜笨小孩的博客-CSDN博客

但线性规范有两种比较特殊的情况，即整数规划和0-1整数规划。在之前（不知MATLAB几之前……），MATLAB是不能直接求解这两种规划的，bintprog函数可以用来求0-1整数规划，但求解过程比较麻烦，而且最新版的MATLAB已经遗弃了这个函数，同时提供了一个比较新的、专用于求解整数规划和0-1整数规划的函数——intlinprog。intlinprog的一个原型为：

[x,fval,exitflag]= intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

该函数的使用和linprog函数的使用十分相似，其仅仅在linprog函数的基础上多了一个参数——intcon。在函数intlinprog中，intcon的意义为整数约束变量的位置。在本题中整数变量为x1，x2，所以intcon=[1,2]；fval为最优化的值，一般是一个标量，exitflag意为函数的退出标志。

本题代码如下：

clear all
clcc=[-40 -90];%用目标函数系数来确定
A=[9 7;7 20];%约束条件左边约束
b=[56 70];%约束条件右边系数
%lb=zeros(2,1);% 生成一个2行1列的全0矩阵,很显示，上面例子中的x,y的最小值为0
%intcon=[1,2];%整数约束变量的位置
%[x,fval,exitflag]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb,[]) %用矩阵lb求不用设置上限lb=[0;0];%下限依然都为0
ub=[inf;inf];%x1没有上限，x2没有上限
intcon=[1,2];%整数约束变量的位置
[x,fval,exitflag]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb,ub) %此时需要设置上下限

结果2：最优解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最优值：340

至于结果为负是因为matlab求解线性规划转化为求最小值

求解实现3：

linprog函数及其参数的意义请看建模学习打卡第一天_菜菜笨小孩的博客-CSDN博客

1.首先我们需要定义一个满足分支定理条件的函数：

%A,b,c分别对应此题的不等式约束系数矩阵，不等式约束常数向量，目标函数系数向量
%Aeq   等式约束系数矩阵,   Beq    等式约束常数向量
%vlb   定义域的下界        vub    定义域的上界
%optXin   每次迭代的最优x   optF   每次迭代最优的f值  iter迭代次数function [xstar, fxstar, flagOut, iter] = BranchBound1(c,A, b, Aeq, Beq, vlb, vub, optXin, optF, iter)global optX optVal optFlag;%将最优解定义为全局变量iter = iter + 1;optX = optXin; optVal = optF;%更新迭代得到的值% options = optimoptions("linprog", 'Algorithm', 'interior-point-legacy', 'display', 'none');[x, fit, status] = linprog(c,A, b, Aeq, Beq, vlb, vub, []);%status返回算法迭代停止原因%status = 1 算法收敛于解x，即x是线性规划的最优解if status ~= 1%没有找到最优解，此分支不用继续迭代下去，返回xstar = x;fxstar = fit;flagOut = status;return;endif max(abs(round(x) - x)) > 1e-3%找到的函数最优解仍不是整数解if fit > optVal   %此题求解的是max,此时的函数值大于之前解得的值xstar = x;fxstar = fit;flagOut = -100;return;endelse%此时解得的函数解为整数解，此分支求解结束，不再继续向下求解，返回if fit > optVal   %此题求解的是max,此时的函数值大于之前解得的值xstar = x;fxstar = fit;flagOut = -101;return;else   %解出的值<之前解得的值，先放入全局变量中暂时存放optVal = fit;optX = x;optFlag = status;xstar = x;fxstar = fit;flagOut = status;return;endendmidX = abs(round(x) - x);%得到x对应的小数部分notIntV = find(midX > 1e-3);%得到非整数的x的索引值，find()函数返回非0的索引值pXidx = notIntV(1);%得到第一个非整数x的下标索引tempVlb = vlb;%临时拷贝一份tempVub = vub;%fix(x) 函数将x中元素零方向取整if vub(pXidx) >= fix(x(pXidx)) + 1%原上界大于此时找到的分界的位置值tempVlb(pXidx) = fix(x(pXidx)) + 1;%将这个分界位置值作为新的下界参数传入，进一步递归[~, ~, ~] = BranchBound1(c,A, b, Aeq, Beq, tempVlb, vub, optX, optVal, iter + 1);endif vlb(pXidx) <= fix(x(pXidx))%原下界小于此时找到的分界的位置值tempVub(pXidx) = fix(x(pXidx));%将这个分界位置值作为新的上界参数传入，进一步递归[~, ~, ~] = BranchBound1(c,A, b, Aeq, Beq, vlb, tempVub, optX, optVal, iter + 1);endxstar = optX;fxstar = optVal;flagOut = optFlag;
end

2.调用上面函数对问题进行求解：

%A,b,c分别对应此题的不等式约束系数矩阵，不等式约束常数向量，目标函数系数向量
%Aeq   等式约束系数矩阵,   Beq    等式约束常数向量
%lb   定义域的下界        ub    定义域的上界clear all
clcA = [9 7;7 20];
b = [56 70];
c = [-40,-90];%标准格式是求min，此题为max，需要转换一下lb = [0; 0];%x值的初始范围下界
ub=[inf;inf];%x值的初始范围上界optX = [0; 0];%存放最优解的x，初始迭代点(0,0)
optVal = 0;%最优解
[x, fit, exitF, iter] = BranchBound1(c,A, b,[], [], lb, ub, optX, optVal, 0)