【考试要求】

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；

2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

【知识梳理】

1.数列的定义

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.

2.数列的分类

3.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.

4.数列的通项公式

(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

【微点提醒】

1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝

2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.

3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.

考点一　由数列的前几项求数列的通项

【规律方法】　由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略

(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.

(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理.

考点二　由an与Sn的关系求通项

【规律方法】数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝①当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；②当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示.

考点三　由数列的递推关系求通项

【规律方法】

由数列的递推关系求通项公式的常用方法

(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.

(2)已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an.

(3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可用待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列.

(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.

【易错警示】　本例(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式.

考点四　数列的性质

【规律方法】1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.

2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定an与an＋1的大小，常用比差或比商法进行判断.

【反思与感悟】

1.数列是特殊的函数，要利用函数的观点认识数列.

2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法：

(1)算出前几项，再归纳、猜想.

(2)形如“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列.

(3)递推公式化简整理后，若为an＋1－an＝f(n)型，则采用累加法；若为＝f(n)型，则采用累乘法.

【易错防范】

1.解决数列问题应注意三点

(1)在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值是正整数.

(2)数列的通项公式不一定唯一.

(3)注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.

2.数列{an}中，若an最大，则an≥an－1且an≥an＋1；若an最小，则an≤an－1且an≤an＋1.