1 简介

• 作者：Asmuth和Bloom；
• 时间：1983年；
• 理念：基于中国剩余定理（CRT）。

2 具体实现

I 秘密分割算法

• （1）选择$n$个整数$d_1,d_2,\dots ,d_n$, 满足：
  $$\begin{array}{l}{d}_1<d_2<\cdots <d_n;//严格递增\\ (d_i,d_j)=1,i\ne j;//两两互素\\ N={\Pi }_{i=1}^t{d}_i,M={\Pi }_{i=n-t+2}^n{d}_i,N>S>M\end{array}$$

• （2）分别计算：
  $$\begin{array}{l}{S}_1=S\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{d}_1\\ S_2=S\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{d}_2\\ \dots \\ S_n=S\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{d}_n\end{array}$$

• （3）第$i$ 个参与者计算$S_i$作为其分享的秘密。

II 秘密重构算法

• （1）收集任意$t$个参与者的钥匙；

• （2）分别计算：
  $$\begin{array}{l}{S}_1=S\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{d}_1\\ S_2=S\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{d}_2\\ \dots \\ S_n=S\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{d}_n\end{array}$$

• （3）根据中国剩余定理，求解得到$S$。

3 实例

设秘密$S=117$，$n=5$, $t=3$。
I 秘密分割

• （1）生成$n$个互质的随机数，要求其中的$t$个最小的随机数相乘的结果大于秘密$S$，$t-1$个最大的随机数相乘的结果小于秘密$S$。例如：

  $d_1=4$，$d_2=5$，$d_3=7$, $d_4=9$, $d_5=11$；

  其中$d_1{d}_2{d}_3>S>d_4{d}_5$。

• （2）分别计算

$$\begin{array}{l}{S}_1=117\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4=1\\ S_2=117\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5=2\\ S_3=117\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7=5\\ S_4=117\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9=0\\ S_5=117\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11=7\end{array}$$

（3）将$(S_i,i)$作为钥匙分发给第$i$个参与者。

II 秘密重构

（1）收集任意$t=3$个参与者的钥匙，例如第1个人的(1, 4)，第2个人的(2, 5)，第5个人的(7, 11)；

（2）列出方程组
$$\begin{array}{l}S\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4=1\\ S\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5=2\\ S\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11=7\end{array}$$

• （3）按照中国剩余定理，计算$S=117$。

2.2.4 代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include "miracl.h"
#include <Windows.h>
#define SECRET_BITS 500		//秘密的位数 
#define N 5					//子秘密的个数n
#define T 3					//恢复秘密所需要的最少子秘密个数t
#define D_DIGBITS (((SECRET_BITS/T)+(SECRET_BITS/(T-1)))/2)	//di的位数,di的长度在B/t与B/(t-1)之间,使N(最小的前t个数的乘积)>k>M(最大的前t-1个数的乘积)
#define MAX_D ((N)*(D_DIGBITS)+(N))							// 定义大数系统的最大位数（稍微比N倍的d大就可以） 
big ki[N], di[N];
void zhongguo(big secret){int i, num[N];big x = mirvar(0);big one = mirvar(1);big m = mirvar(1);	//m是di连乘的乘积big Mit[N];			//Mibig Mit_1[N];		//Mi的逆big g1[N];			//中间变量，计算Mi*Mi的逆*ai（a1即Ki）printf("\n                                                     秘密恢复");printf("\n请选择%d个子秘密，输入序号1 - %d\n", T, N);for (i = 0; i < T; i++){scanf_s("%d", &num[i]);num[i]--;//使序号从1 - t ，转化为 0 - t-1，符合数组下标的实际情况}//of for i//初始化for (i = 0; i < N; i++){Mit[i] = mirvar(0);Mit_1[i] = mirvar(0);g1[i] = mirvar(0);}//of for i//m=di[num[i]]连乘for (i = 0; i < T; i++){multiply(m, di[num[i]], m);//di[num[i]]表示的就是中国剩余定理中的mi}//of for i//Mit[t]=m/di[num[i]],即计算Mifor (i = 0; i < T; i++){fdiv(m, di[num[i]], Mit[i]);//除法}//of for i//Mit_1为Mit的逆for (i = 0; i < T; i++){xgcd(Mit[i], di[num[i]], Mit_1[i], Mit_1[i], Mit_1[i]);//求逆运算,Mit_1为Mit在模di[num[i]]下的逆}//of for i//g1 = Mi t* Mit_1 * ki[ num[i] ]for (i = 0; i < T; i++){multiply(Mit[i], Mit_1[i], g1[i]);multiply(g1[i], ki[num[i]], g1[i]);}//of for i//x=g1[1]+g1[2]+...+g1[t]for (i = 0; i < T; i++){add(x, g1[i], x);}//of for ipowmod(x, one, m, x);// x = x^1 mod mprintf("\n");printf("秘密: \n");cotnum(x, stdout);printf("\n");//判断恢复的秘密与原秘密是否相同if (mr_compare(x, secret) != 0){printf("恢复的秘密与所给秘密不同！");}else{ printf("恢复的秘密与所给秘密相同！");}//of ifprintf("\n");
}//of zhongguoint main(){FILE* fp;char fpname[] = "s.txt";//文件名miracl* mip = mirsys(MAX_D, 10);//初始化大数系统，最大位数和进制big secret = mirvar(0);//秘密big one = mirvar(1);//big型数值1big a= mirvar(1);//代表D_DIGBITS位的10进制随机数big n= mirvar(1);//代表N=d1*d2*...*dtbig m = mirvar(1);//代表M=d(n-t+2)*d(n-t+3)*...*dnint i;for (i = 0; i < N; i++){ki[i] = mirvar(0);//对每一个ki[]进行初始化di[i] = mirvar(0);//对每一个di[]进行初始化}//of for i//从文件中读秘密if ((fp = fopen(fpname, "r")) == NULL){printf("Fail to open the file\n");return -1;}else{cinnum(secret, fp);//从fp文件中把大数赋值给big型变量secretprintf("                                                     秘密读取\n");cotnum(secret, stdout);//打印secret内容//挑选出五个素数，满足严格递增。只需要产生相邻的素数即可。printf("                                                     秘密分割");printf("\n产生的di:\n");bigdig(D_DIGBITS,10, a);//产生一个D_DIGBITS位的10进制随机数ai = 0;while (i != N) {add(a,one, a);//a=a+1if (isprime(a)){ //判断大数a是否为素数，为素数返回TRUE，否则返回FALSEabsol(a, di[i]);//di=|a| cotnum(di[i], stdout);printf("\n");i++;}//of if}//of while//求出子秘密printf("\n产生的子秘密为：\n");for (i = 0; i < N; i++) {ki[i] = mirvar(1);powmod(secret,one, di[i], ki[i]);//模幂运算，ki[i]=secret^1(mod di[i])printf("\n第%d个子秘密k%d为:\n", i + 1,i+1);cotnum(ki[i], stdout);}//of for i//打印N=d1*d2*...*dtfor (i = 0; i < T; i++){multiply(di[i], n, n);}//of for iprintf("\nN的值为：\n");cotnum(n, stdout);//打印M=d(n-t+2)*d(n-t+3)*...*dnfor (i = N-1; i >(N-T); i--){multiply(di[i], m, m);}//of for iprintf("\nM的值为：\n");cotnum(m, stdout);printf("\n");//进行秘密复原zhongguo(secret);}//of ifreturn 0;
}//of main