RMQ求区间最值 nlog(n)

转载于：http://blog.csdn.net/xuzengqiang/article/details/7350465

RMQ算法全称为(Range Minimum/Maximum Query)意思是给你一个长度为n的数组A,求出给定区间的最值的下标。当然我们可以采用枚举，但是我们也可以使用线段树来优化，复杂度为(nlogn)，但是最好的办法是采用Sparse_Table算法，简称ST算法。他能在进行(nlogn)的预处理后达到n(1)的效率。下面来分析下最大值和最小值，都要用到DP的思想。

最小值(Mininun)：我们可以用F(i,j)表示区间[i,i+2^j-1]间的最小值。我们可以开辟数组来保存F(i,j)的值，例如:F(2,4)就是保存区间[2,2+2^4-1]=[2,17]的最小值。那么F(i,0)的值是确定的,就为i这个位置所指的元素值，这时我们可以把区间[i,i+2^j-1]平均分为两个区间，因为j>=1的时候该区间的长度始终为偶数，可以分为区间[i,i+2^(j-1)-1]和区间[i+2^(j-1)-1,i+2^j-1]，即取两个长度为2^(j-1)的块取代和更新长度为2^j的块，那么最小值就是这两个区间的最小值的最小值，动态规划为：F[i,j]=min(F[i,j-1],F[i+2^(j-1),j-1]).同理:最大值就是F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-1),j-1]).

现在求出了F[i,j]之后又是怎样求出最大值或者最小值的，怎么转换为o(1)这种算法的~这就是ST算法：

这个时候询问时只要取k=ln(j-i+1)/ln2即可，那么可以令A为i到2^k的块，和B为到2^k结束的长度为2^k的块;那么A，B都是区间[i,j]的子区间，所以即求A区间的最小值和B区间的最小值的最小值。这个时候动态规划为：RMQ(i,j)=min(F[i,k],F[j-2^k+1,k]);

log2的求法：

Log[0] = -1;
for(int i = 1;i <M;i++)Log[i] = ((i&(i-1)) == 0)?Log[i-1]+1:Log[i-1];

RMQ：

void RMQ(int n)
{int i,j;int m=Log[n];for(i=1;i<=n;i++)dp_min[i][0]=dp_max[i][0]=dis[i];//dis代表原数列for(j=1;j<=m;j++){for(i=1;i<=n+1-(1<<j);i++){dp_max[i][j]=max(dp_max[i][j-1],dp_max[i+(1<<(j-1))][j-1]);dp_min[i][j]=min(dp_min[i][j-1],dp_min[i+(1<<(j-1))][j-1]);}}
}

最小值：

int lcp(int x,int y)
{int m=Log[y-x+1];return min(dp_min[x][m],dp_min[y+1-(1<<m)][m]);
}

最大值

int lcp(int x,int y)
{int m=Log[y-x+1];return max(dp_max[x][m],dp_max[y+1-(1<<m)][m]);
}