1. 问题描述

双11购物节的时候，某宝给你很多张满300减50的优惠券，你想组合各种商品的价格总和>=300，且金额总和越接近300越好，这样可以多薅点羊毛。

• 回溯算法效率太低，时间复杂度指数级。当n很大的时候，可能“双11”已经结束了，代码还没有运行出结果

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• DP求解：购物车中有n个商品。针对每个商品都决策是否购买。每次决策之后，对应不同的状态集合。
• 用一个二维数组 states[n][x]，来记录每次决策之后所有可达的状态。不过，这里的x值是多少呢？
• 0-1背包问题中，我们找的是小于等于MaxWeight的最大值，x 就是背包的最大承载重量 MaxWeight+1。
• 对于这个问题来说，我们要找的是>=300（满减条件）的值中最小的，所以就不能设置为300加1了。就这个实际的问题而言，如果要购买的物品的总价格超过300太多，比如1000，那这个羊毛“薅”得就没有太大意义了。所以，我们可以限定x值为1001。
• 这个问题不仅要求>=300的总价格中的最小的，还要找出这个最小总价格对应都要购买哪些商品。实际上，我们可以利用states数组，倒推出这个被选择的商品序列。

2. 代码实现

/*** @description: 双十一购物凑单（DP）* @author: michael ming* @date: 2019/7/17 0:29* @modified by: */
#include <cstring>
#include <iostream>const int limitMoney = 300;
const int MaxSumOfPrice = 3*limitMoney;//超过3倍就没有媷羊毛的必要了
void double11shopping(int *price, int n)
{bool (*states) [MaxSumOfPrice+1] = new bool [n][MaxSumOfPrice+1];memset(states,0,n*(MaxSumOfPrice+1)*sizeof(bool));states[0][0] = true;//第一个不买if(price[0] <= MaxSumOfPrice)states[0][price[0]] = true;//第一个买int i, j;for(i = 1; i < n; ++i)//动态规划{for(j = 0; j <= MaxSumOfPrice; ++j)//不买第i个商品{if(states[i-1][j] == true)states[i][j] = states[i-1][j];}for(j = 0; j <= MaxSumOfPrice-price[i]; ++j)//购买第i个商品{if(states[i-1][j] == true)states[i][j+price[i]] = true;}}for(j = limitMoney; j <= MaxSumOfPrice; ++j){if(states[n-1][j] == true)break;//找到>=满减金额的最小值}if(j == MaxSumOfPrice+1)return;//超出满减金额很多，没必要选了，直接买吧for(i = n-1; i >= 1; --i)//打印该买的商品{if(j-price[i] >= 0 && states[i-1][j-price[i]] == true){std::cout << "购买价格为：" << price[i] << " 的商品" << std::endl;j = j - price[i];}//else 没有购买这个商品，j不变}if(j != 0)//如果没有买第0个，到这里j == 0了，如果j不为0，说明买了第0个std::cout << "购买价格为：" << price[0] << " 的商品" << std::endl;delete [] states;
}
int main()
{const int n = 5;int price[n] = {100,98,105,104,99};double11shopping(price,n);return 0;
}

打印所选商品说明：

• 状态（i，j）只有可能从（i-1，j）或者（i-1，j-price[i]）两个状态推导过来。所以，我们就检查这两个状态是否可达，也就是 states[ i-1 ][ j ] 或者 states[ i-1 ][ j-price[i] ] 是否是true。
• 如果states[ i-1 ][ j ]可达，说明没有选择第i个商品，如果states[ i-1 ][ j-price[i] ] 可达，说明选择了第i个商品。从中选择一个可达的状态（如果两个都可达，就随意选择一个），然后，继续迭代考察其他商品是否有选择购买。