ACwing 5. 多重背包问题 II(二进制拆分+DP)

文章目录

    • 1. 题目
    • 2. 解题

1. 题目

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件,每件体积是 vi,价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包,可使物品体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数,N,V,用空格隔开,分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行,每行三个整数 vi,wi,si,用空格隔开,分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数,表示最大价值。

数据范围
0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000
提示:
本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例:
10

题目来源:https://www.acwing.com/problem/content/description/5/

2. 解题

本题是在 4. 多重背包问题 I 的基础上,加大了数据规模,直接用上一题的代码是没问题的,但是时间复杂度很高,会超时

  • 将 si 拆分成 1,2,4,8, … ,2^k, 剩余的数(这些数,每个数表示一个新的物品,这个新的物品是原来的n个组合成的),这些数可以组合成 1 - si 的任意数
  • 然后应用 01 背包解决问题
  • 时间复杂度 O(NVlog⁡S)O(NV \log S )O(NVlogS),空间复杂度 O(V)O(V)O(V)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int main()
{int N, V, vi, wi, si, maxprice = 0;cin >> N >> V;vector<int> dp(V+1, -1);dp[0] = 0;// dp[v] 表示体积为 v 时装的最大价值for(int i = 0; i < N; ++i){cin >> vi >> wi >> si;for(int k = 1; si > k; k*=2)//二进制拆分{int price = wi*k;//合并成一个物品,其价值int v = vi*k;//其体积si -= k;//剩余物品数量for(int j = V-v; j >= 0; --j)// 01 背包,状态更新{if(dp[j] == -1)//状态不存在continue;dp[j+v] = max(dp[j+v], dp[j]+price);maxprice = max(maxprice, dp[j+v]);}}if(si > 0)//还剩余的,单独打包成一个物品{int price = wi*si;int v = vi*si;for(int j = V-v; j >= 0; --j)// 01 背包,状态更新{if(dp[j] == -1)//状态不存在continue;dp[j+v] = max(dp[j+v], dp[j]+price);maxprice = max(maxprice, dp[j+v]);}}}cout << maxprice << endl;return 0;
}

855 ms C++


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