1. 题目

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000
提示：
本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：
10

题目来源：https://www.acwing.com/problem/content/description/5/

2. 解题

本题是在 4. 多重背包问题 I 的基础上，加大了数据规模，直接用上一题的代码是没问题的，但是时间复杂度很高，会超时

• 将 si 拆分成 1,2,4,8, … ,2^k, 剩余的数（这些数，每个数表示一个新的物品，这个新的物品是原来的n个组合成的），这些数可以组合成 1 - si 的任意数
• 然后应用 01 背包解决问题
• 时间复杂度 $O(NV\log S)$，空间复杂度 $O(V)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int main()
{int N, V, vi, wi, si, maxprice = 0;cin >> N >> V;vector<int> dp(V+1, -1);dp[0] = 0;// dp[v] 表示体积为 v 时装的最大价值for(int i = 0; i < N; ++i){cin >> vi >> wi >> si;for(int k = 1; si > k; k*=2)//二进制拆分{int price = wi*k;//合并成一个物品，其价值int v = vi*k;//其体积si -= k;//剩余物品数量for(int j = V-v; j >= 0; --j)// 01 背包，状态更新{if(dp[j] == -1)//状态不存在continue;dp[j+v] = max(dp[j+v], dp[j]+price);maxprice = max(maxprice, dp[j+v]);}}if(si > 0)//还剩余的，单独打包成一个物品{int price = wi*si;int v = vi*si;for(int j = V-v; j >= 0; --j)// 01 背包，状态更新{if(dp[j] == -1)//状态不存在continue;dp[j+v] = max(dp[j+v], dp[j]+price);maxprice = max(maxprice, dp[j+v]);}}}cout << maxprice << endl;return 0;
}

855 ms C++

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