1. 序言

• 线性代数不光要会计算，还要理解掌握其几何直观。

2. 向量究竟是什么？

• 物理学：向量是空间中的箭头，具有长度和方向两个属性。
• 计算机：向量是一个有序数表。比如房屋的参数信息可以根据相关属性按准许列成一个数表。
• 向量可以看成一种运动，即在空间中朝某个方向迈出一定距离。
• 向量有两个基础运算加法和数乘。

3. 线性组合，张成空间和基向量

• 向量张成的空间是两个向量任意组合能够得到的新的向量终点集合所组成的空间。（所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合被称为给定向量张成的空间。）
• 若所有向量共线，那么张成的空间只有一条直线。
• 若所有向量都是0向量，那么张成空间只有一个点。
• 两个不共线的三维向量张成的空间是一个平面。
• 三个彼此不共线的三维向量张成的空间是一个三位空间。
• 向量之间线性相关是说其中存在向量可以被其他向量表示，如果每一个向量都给张成空间增加了一个维度，那就是说这些向量线性无关。
• 向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关的向量集。

4.矩阵与线性变换

• 线性变换满足两个条件1.变换后网格线等距分布且互相品行，2.原点位置不变。
  原因：线性运算加法和数乘不会使向量产生弯曲不会改变原点位置。
• 矩阵是一种特定的线性变换。
• 对一个向量进行线性变换就相当与把原向量在变换矩阵(新的基向量)下展开。即“缩放新基向量再相加”，也就是一个矩阵乘一个向量。
• 当矩阵列线性相关时就表示这个变换会使空间降维。二维矩阵列线性相关表示会把空间挤压为一维直线。
• 矩阵可以看作新的基向量。矩阵向量乘法就是计算线性变换作用于给定向量的一种途径，

5. 矩阵乘法与线性变换复合的联系

• 矩阵乘法的本质是一种线性变换。
• 多个矩阵相乘相当于对空间从右到做依次对空间进行线性变换。如多个矩阵$M_1{M}_2{M}_3$从右边开始相当于先对第一个矩阵$M_3$的列向量基向量做变换得到新的基向量然后再
• 矩阵乘向量相当于对向量做矩阵的变换，相当于按照矩阵每一个列向量作为新的基向量，在新的基向量下求向量的表示。
• $M_1{M}_2=?M_2{M}_1$,这个问题可以从几何变换角度考虑，可知原命题必然不可能。
  以及$(AB)C=?A(BC)$

6. 三维空间的线性变换

• 三维空间的线性变换由一个行列维度$3\ast 3$的矩阵描述，这个线性变换的意义就是以三维空间基向量进行变换后所围成的三维空间。
• 变换后的基向量就是三维矩阵的每个列向量作为基向量。

7. 行列式的本质：就是行列式的列向量数量$d$作为空间维度数量，是对d维空间基向量空间的缩放比例。

• $det(M_1{M}_2)=det(M_1)det(M_2)$
  原因：两个缩放的复合缩放对空间的影响=两个单独缩放对空间的影响之积。

8. 逆矩阵，列空间，秩与零空间。

• 线性代数描述对空间的运动和操纵。
• 方程组可以转化成一个矩阵向量方程$Ax=b$的形式，要找到一个位置向量$x$使得变换后与$b$重合。A变换有两种情况：
  1. 将空间挤压成一个低维的变换此时$det(A)=0$
  2. 不改变空间的维度此时$det(A)\ne 0$
• 情况1通过逆变换可以找到向量x，也就是$A^{-1}A=$什么都不做的变换，那么这个变换叫做恒等变换。那么找到$A^{-1}$就可以两边同乘可以得到解。方程数量=变量数量这便是唯一解。适用于高维情况。
• 情况2将空间降维压缩，但无法复原，一个空间在压缩后的量在压缩前的空间存在多解，所以无法复原。
• $Ax=b$即便A等于0，对空间降维，依然可能存在解，条件是$b$在降维空间之内。维度下降越多，解越可能不存在。
  
• 解变换成1维的，我们说秩为1；如果变换后解落在二维平面内。那么秩就为2。秩代表变换后空间的维数。秩为1表示变换后空间变成1维，秩为2表示空间变换后成为一个平面比如$2\ast 2$的矩阵表示对二维空间变换，那么
• **所有可能的变换结果的集合，都被成为矩阵的列空间。**比如一个变换把空间变成一条线，一个平面，或是三维空间。这些结果都算做矩阵的列空间。矩阵的列告诉我们向量变换后的位置这些变换后基向量张成的空间就是所有可能的变换结果，所以所有变换结果的集合就是矩阵的列空间。也就是矩阵的列所张成的空间，秩是列的维数。秩为最大称为满秩。
• 零向量一定被包含在列空间，因为满秩线性变换原点保持不变，线性变换后唯一保持不变的就是0向量。非满秩会把空间压缩到更低维度空间上，也就是有一系列向量被压缩为0向量。
• 空间线性变换后0向量的解集叫做矩阵的零空间或核。 比如一个2*2的变换$Ax=0$，秩为1，压缩二维空间到1维，这个向量方程的解在二维空间中是一个直线方程。
• 三维线性变换，把空间压缩到1维。

9.非方阵，不同维度空间之间的线性变换

• 矩阵的维度透露变换信息，矩阵的列向量数量表明空间变换前的维度信息，矩阵的行数量表明了变换后的维度信息。

10.点积与对偶性

• 点积也是一种线性变换，是一种把向量映射到一维数轴的降维线性变换。
• 两个向量做点积，相当于其中一个向量对另一个向量方向上做投影映射，而另一个向量就是数轴压缩成1维之后原维度在1维情况下的各个分量。那么这样点积下来就得到了对应分量在变换后1维情况下对应分量的加和。
• **两个向量做点积，被作为投影方向的向量分量相当于把原维度下的基向量对新维度做映射变换后的新基单位向量乘以一个倍数的结果。**这个向量可看作一个矩阵，$1\ast n$的向量也就是变换矩阵，也是把原n维空间的向量转化成1维向量。
• ** 点积顺序不影响结果。**
• 点积的本质是矩阵向量乘积。
• 一个线性变换的输出空间是一维数轴，那么原空间中会存在唯一的向量v与此向量相关,由于原空间的基向量是固定的，也就是说这个映射变换会在1维空间中得到一个唯一的映射。若原空间的基向量不定，则可能存在多个原向量对应。**这便是数学中的对偶性。**也就是两种数学事物之间自然而出乎意料的关系，**一个向量的对偶便是由他定义的线性变换。**一个多维空间到一维空间的线性变换的对偶是多维空间的某个特定向量。

以线性变换的眼光看待叉积

• 两个向量的叉积其实和行列式是相同的，会发现不管是二维向量还是三维向量叉积都和二维三维的行列式是结果一样的，也就是，行列式的结果是一个数，叉积的结果是一个向量也同时是叉积的向量围成的面积，当向量维度是二维的时候，两个二维向量叉积值维面积行列式也是面积，三维向量叉积得到的是围成的面积同时又乘了一个$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$;
  {a⃗,b⃗,c⃗}⋅{v2∗w3−v3∗w2,v3∗w1−v1∗w3,v1∗w2−v2∗w1}=α⃗⋅p⃗\{\vec a,\vec b,\vec c\}\cdot\{v2*w3-v3*w2,v3*w1-v1*w3,v1*w2-v2*w1\}=\vec \alpha\cdot\vec p{a,b,c}⋅{v2∗w3−v3∗w2,v3∗w1−v1∗w3,v1∗w2−v2∗w1}=α⋅p​=
  $$det(\left[\begin{array}{ccc}\vec{a}& v1& w1\\ \vec{b}& v2& w2\\ \vec{c}& v3& w3\end{array}\right])$$
  这里也就是行列式和叉积得到了统一，三维向量叉积可以看作是两个向量$v,w$叉乘得到底面积得到了以底面积为长度的向量$\vec{p}$,乘上一个{a⃗,b⃗,c⃗}\{\vec a,\vec b,\vec c\}{a,b,c}也就是得到了向量{a⃗,b⃗,c⃗}\{\vec a,\vec b,\vec c\}{a,b,c}在垂直于底面向量叉积的点积投影，也就是$|\vec{\alpha }|\cdot |\vec{p}|\cdot cos\theta$就得到了高*底面积=$det(\left[\begin{array}{ccc}\vec{a}& v1& w1\\ \vec{b}& v2& w2\\ \vec{c}& v3& w3\end{array}\right])$也就是体积。