【数据结构与算法】递归

一、什么是递归？

1.递归是一种非常高效、简洁的编码技巧，一种应用非常广泛的算法，比如DFS深度优先搜索、前中后序二叉树遍历等都是使用递归。
2.方法或函数调用自身的方式称为递归调用，调用称为递，返回称为归。

二、为什么使用递归？递归的优缺点？

1.优点：代码的表达力很强，写起来简洁。
2.缺点：空间复杂度高、有堆栈溢出风险、存在重复计算、过多的函数调用会耗时较多等问题。

三、什么样的问题可以用递归解决呢？

一个问题只要同时满足以下3个条件，就可以用递归来解决：
1.问题的解可以分解为几个子问题的解。何为子问题？就是数据规模更小的问题。
2.问题与子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样
3.存在递归终止条件


int f(int n) {if (n == 1) return 1;if (n == 2) return 2;return f(n-1) + f(n-2);
}

四、如何实现递归？

1.递归代码编写
递归代码最关键的是写出递推公式，找到终止条件

写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律，并且基于此写出递推公式，然后再推敲终止条件，最后将递推公式和终止条件翻译成代码。
2.递归代码理解
编写递归代码的关键是，只要遇到递归，我们就把它抽象成一个递推公式，不用想一层层的调用关系，屏蔽掉递归细节，不要试图用人脑去分解递归的每个步骤。
对于递归代码，若试图想清楚整个递和归的过程，实际上是进入了一个思维误区。
那该如何理解递归代码呢？如果一个问题A可以分解为若干个子问题B、C、D，你可以假设子问题B、C、D已经解决。而且，你只需要思考问题A与子问题B、C、D两层之间的关系即可，不需要一层层往下思考子问题与子子问题，子子问题与子子子问题之间的关系。屏蔽掉递归细节，这样子理解起来就简单多了。
因此，理解递归代码，就把它抽象成一个递推公式，不用想一层层的调用关系，不要试图用人脑去分解递归的每个步骤。

五、递归常见问题及解决方案

1. 递归代码要警惕堆栈溢出
何避免出现堆栈溢出呢？
可以通过在代码中限制递归调用的最大深度的方式来解决这个问题。


// 全局变量，表示递归的深度。
int depth = 0;int f(int n) {++depth；if (depth > 1000) throw exception;if (n == 1) return 1;return f(n-1) + 1;
}

2. 递归代码要警惕重复计算
为了避免重复计算，我们可以通过一个数据结构（比如散列表）来保存已经求解过的 f(k)。当递归调用到 f(k) 时，先看下是否已经求解过了。如果是，则直接从散列表中取值返回，不需要重复计算，这样就能避免刚讲的问题了。


public int f(int n) {if (n == 1) return 1;if (n == 2) return 2;// hasSolvedList可以理解成一个Map，key是n，value是f(n)if (hasSolvedList.containsKey(n)) {return hasSolvedList.get(n);}int ret = f(n-1) + f(n-2);hasSolvedList.put(n, ret);return ret;
}

六、如何将递归改写为非递归代码？

利是递归代码的表达力很强，写起来非常简洁；而弊就是空间复杂度高、有堆栈溢出的风险、存在重复计算、过多的函数调用会耗时较多等问题。
笼统的讲，所有的递归代码都可以改写为迭代循环的非递归写法。如何做？抽象出递推公式、初始值和边界条件，然后用迭代循环实现。


int f(int n) {if (n == 1) return 1;if (n == 2) return 2;int ret = 0;int pre = 2;int prepre = 1;for (int i = 3; i <= n; ++i) {ret = pre + prepre;prepre = pre;pre = ret;}return ret;
}