二元随机变量函数的分布

在前面的文章记录了二元随机变量的定义离散型二元随机变量的联合分布律/联合概率密度函数边际分布律/边际概率密度函数条件分布律/条件概率密度 ,以及对应的 联合分布函数边际分布函数条件分布函数。这篇文档介绍二元随机变量函数的分布。
二元随机变量函数的分布=二元随机变量函数的函数=g(X,Y)的分布。

二元离散型随机变量函数的分布
 设二元离散型随机变量(X,Y)具有概率分布律P(X=xi,Y=yj),i,j=1,2,3...
 (1)如果U=g(X,Y)U
 (2)如果U=g(X,Y),V=v(X,Y)则(U,V)的分布律是什么?
 对于(1),先确定U的取值ui,i=1,2...,接着找到(U=Ui)=(X,Y)D,从而计算分布律。
 对于(2),先确定(U,V)的取值(ui,vj) i,j=1,2,3...,接着找到(U=ui,V=vj)=(X,Y)D,从而计算分布律。

二元连续型随机变量函数的分布
 设二元连续型随机变量(X,Y)具有概率分布函数f(x,y),Z是X,Y的函数,Z=g(X,Y)
 (1)Z的分布函数
 (2)Z的概率密度函数
 对于(1),FZ(z)=P(Zz)=P(g(X,Y)z)=g(X,Y)zf(x,y)dxdy
 对于(2),fZ(z)=FZ(z)

Z=X+Y的分布
 设(X,Y)的概率密度函数为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为FZ(z)=x+yzf(x,y)dxdy,进一步计算得到fZ(z)=+f(zy,y)dy,或者fZ(z)=+f(x,zz)dx。这两个公式称为fX,fY的卷积公式。
 连续型随机变量中
  正态分布:n个独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。这里写图片描述

  均匀分布:
  指数分布:Γ分布。如果X1,X2,...Xn相互独立,切Xi服从参数为αi,β(i=1,2,3....n)Γ分布,则ni=1Xi,服从参数为ni=1αi,βΓ分布。这一性质称为Γ分布的可加性。
 离散型随机变量中
  二项分布:如果X1,X2,...Xn相互独立,且都服从B(n,p),则X1+X2+...+Xn~B(n,p)。如果X~B(n1,p),Y~B(n2,p),两者相互独立,则X+Y~B(n1+n2,p)
  泊松分布:如果X~π(λ1),Y~π(λ2),两者相互独立,则X+Y~π(λ1+λ2)

max(X,Y)的分布
 如果X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的函数分布分为为FX(x)FY(y),则Fmax(z)=FX(z)FY(z)。 可以扩展到n个相互独立的随机变量。
min(X,Y)的分布
 如果X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的函数分布分为为FX(x)FY(y),则Fmin(z)=1(1FX(z))(1FY(z))。可以扩展到n个相互独立的随机变量。
 
  

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