在前面的文章记录了二元随机变量的定义、离散型二元随机变量的联合分布律/联合概率密度函数、边际分布律/边际概率密度函数、条件分布律/条件概率密度 ，以及对应的 联合分布函数、边际分布函数、条件分布函数。这篇文档介绍二元随机变量函数的分布。
二元随机变量函数的分布=二元随机变量函数的函数=g(X,Y)的分布。

二元离散型随机变量函数的分布
　设二元离散型随机变量(X,Y)具有概率分布律$P(X=x_i,Y=y_j),i,j=1,2,3...$。
　(1)如果$U=g(X,Y)，则U的分布律是什么？$。
　(2)如果$U=g(X,Y),V=v(X,Y)$则(U,V)的分布律是什么？
　对于(1)，先确定U的取值$u_i,i=1,2...$，接着找到$(U=U_i)={(X,Y)\in D}$，从而计算分布律。
　对于(2)，先确定(U,V)的取值$(u_i,v_j)$ $i,j=1,2,3...$，接着找到$(U=u_i,V=v_j)={(X,Y)\in D}$，从而计算分布律。

二元连续型随机变量函数的分布
　设二元连续型随机变量(X,Y)具有概率分布函数$f(x,y)$，Z是X,Y的函数，$Z=g(X,Y)$。
　(1)Z的分布函数
　(2)Z的概率密度函数
　对于(1)，$F_Z(z)=P(Z\le z)=P(g(X,Y)\le z)=\int \int_{g(X,Y)\le z} f(x,y)dxdy$
　对于(2)，$f_Z(z)=F'_Z(z)$

Z=X+Y的分布
　设(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)，则Z=X+Y的分布函数为$F_Z(z)=\int \int_{x+y\le z} f(x,y)dxdy$，进一步计算得到$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy$，或者$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-z)dx$。这两个公式称为$f_X$,$f_Y$的卷积公式。
　连续型随机变量中
　　正态分布：n个独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。

　　均匀分布：
　　指数分布：$\Gamma$分布。如果$X_1,X_2,...X_n$相互独立，切$X_i$服从参数为$\alpha_i,\beta(i=1,2,3....n)$的$\Gamma$分布，则$\sum_{i=1}^{n}X_i$，服从参数为$\sum_{i=1}^n \alpha_i,\beta$的$\Gamma$分布。这一性质称为$\Gamma$分布的可加性。
　离散型随机变量中
　　二项分布：如果$X_1,X_2,...X_n$相互独立，且都服从B(n,p)，则$X_1+X_2+...+X_n$~B(n,p)。如果X~B($n_1$,p),Y~B($n_2$,p)，两者相互独立，则X+Y~$B(n_1+n_2,p)$。
　　泊松分布：如果X~$\pi(\lambda_1)$，Y~$\pi(\lambda_2)$，两者相互独立，则X+Y~$\pi (\lambda_1+\lambda_2)$。

max(X,Y)的分布
　如果X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的函数分布分为为$F_X(x)$，$F_Y(y)$，则$F_{max}(z)=F_X(z)F_Y(z)$。 可以扩展到n个相互独立的随机变量。
min(X,Y)的分布
　如果X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的函数分布分为为$F_X(x)$，$F_Y(y)$，则$F_{min}(z)=1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z))$。可以扩展到n个相互独立的随机变量。