题目

我们有一个数字序列包含 n 个不同的数字，如何求出这个序列中的最长递增子序列长度？比如 2, 9, 3, 6, 5, 1, 7 这样一组数字序列，它的最长递增子序列就是 2, 3, 5, 7，所以最长递增子序列的长度是 4。

回溯法

数组长度为n，每一步考虑当前元素要不要加入到最长递增子序列中。如果加上去，最后的长度是多少？如果不加该元素，最后的长度又是多少。这是一个多阶段决策最优化问题。可以用回溯法解决。

	public class IncreaseArray {private int[] nums = new int[]{2,9,3,6,5,1,7};private int n = nums.length;private int maxLen = 0;/**** @param i*          当前处理的元素下标* @param lastIdx*          最后一个进入到最长递增子序列的元素下标，用于比较*/private void f(int i,int lastIdx,int len){if(i==n){maxLen = Math.max(maxLen,len);return;}if(lastIdx == -1 || nums[i]>nums[lastIdx]){//加入到最长递增子数组中f(i+1,i,len+1);}//不加入到最长递增子数组中f(i+1,lastIdx,len);}private int maxIncreaseArrayLength(){f(0,-1,0);return maxLen;}}

备忘录模式

画递归树，查看是否有重复子问题。每个节点状态用(i,j,len)表示。i表示到达地i个元素 ，j表示加入到最长递增子序列的最后一个元素的下标，len表示当前状态下最长递增子序列的长度。

从树中能看出(3,2,1) (3,2,2) 只需要留下 (3,2,2)这个节点就行。因为这个节点的长度最长，而且长度是1还是2与后面递增子序列的添加没有影响。我们的目标又是求最长的递增子序列的长度，所以留 (3,2,2)这个节点就行。

所以我们可以用备忘录模式来解决。

	private int fV2(int i,int lastIdx,int[][] memo){if(i==n){return 0;}if(memo[lastIdx+1][i]>=0) return memo[lastIdx+1][i];int value = 1;if(lastIdx == -1 || nums[i]>nums[lastIdx]){//加入到最长递增子数组中value = 1+fV2(i+1,i,memo);}//不加入到最长递增子数组中int value1 = fV2(i+1,lastIdx,memo);memo[lastIdx+1][i] = Math.max(value,value1);return memo[lastIdx+1][i];}private int maxIncreaseArrayLengthV2(){int[][] memo = new int[n][n];for(int[] array : memo){Arrays.fill(array,-1);}return fV2(0,-1,memo);}

动态规划

从上面的分析中我们知道，当处理第i个元素的时候，要求得第i个元素最长递增子序列的长度是多少，与前面步骤中递增子序列以哪个元素结尾有关系。那么前面步骤中递增子序列可能的结尾是第0个元素，第1个元素，第2个元素…第i-1个元素。如果我们能分别知道以这些元素结尾的最长递增子序列的长度，就可以推导出以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度。

我们用max_lcs[i]来记录以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度。
那么设j=0,1,2…i-1，当nums[i]>nums[j]的时候，max_lcs[j]+1就是一个可能的值。从这些值中取最大值，就是max_lcs[i]的值。

max_lcs[i]=max(max_lcs[j]+1),0<=j<i && nums[i]>nums[j]。

最后再从max_lcs数组中查找最大值，就是答案。

	private int maxIncreaseArrayLengthDp(){if(nums==null || nums.length == 0) return 0;int[] dp = new int[n];//表示以第i个元素作为结尾的最长递增子序列的最大长度int maxLen = 1;for(int i=0;i<n;i++){int value = 1;for(int j=i-1;j>=0;j--){if(nums[i]>nums[j]){value = Math.max(value,dp[j]+1);}}dp[i] = value;maxLen = Math.max(maxLen,dp[i]);}return maxLen;}

写在后面：这道题目在回溯法中知道，当处理第i个元素的时候，与前面步骤中递增子序列以哪个元素结尾有关系。得出这个关系很重要。而且能够将状态转移表简化为max_lcs这个一位数组也是关键。