找零的两种问题

硬币找零问题，有两种。一种用贪心解决，一种用动态规划解决。
问题1：假设我们有 v1，v2，……，vn（单位是元）这些币值的硬币，它们的张数分别是 c1、c2、…, cn。我们现在要用这些钱来找零 w元，最少要用多少张纸币呢？

问题2：假设我们有几种不同币值的硬币 v1，v2，……，vn（单位是元）。如果我们要支付 w 元，求最少需要多少个硬币。比如，我们有 3 种不同的硬币，1 元、3 元、5 元，我们要支付 9 元，最少需要 3 个硬币（3 个 3 元的硬币）。

问题1有一个限制条件是不同面额的硬币的张数是有限制的，而问题2中没有这个限制。

问题1解决用贪心。选择小于w的，面值最大的硬币，来付钱。

问题2解决用动态规划。至于为什么不用贪心，我也不大明白。接下来重点描述问题2的解决方法。

回溯法解决问题2

回溯法1

因为多次用了回溯法，所以很自然想到，每次决定一种硬币，使用一种数量，会产生什么状态。
例如w=9，
在第0阶段，我可以决定1元，使用0张，产生一种状态：支付0元；1元，使用1张，产生一种状态：支付1元；1元，使用2张，产生一种状态：支付2元…
在第1阶段，我可以决定3元，使用0张，基于上一步的状态产生新的状态：支付0、1、2…元；使用1张，基于上一步的状态产生新的状态：1+3、2+3…
当支付金额等于9的时候，比较最少使用了多少个硬币。

public class CoinChange {//钱币种类private int[] coins = new int[]{1,3,5};private  int n = coins.length;//总金额private int total = 9;private int minCount = Integer.MAX_VALUE;private void f (int i,int coinCount,  int sum){if(sum==total){minCount = Math.min(minCount,coinCount);return;}if(sum>total){return;}if(i==n){return;}int maxCount = (total - sum)/coins[i];System.out.println(maxCount);for(int j=0;j<=maxCount;j++){f(i+1,coinCount+j,sum+coins[i]*j);}}public int findCoinCount(){f(0,0,0);return minCount;}}

回溯法2

我们还可以换一种思路。我们按照支付金额分阶段。
我们硬币种类有1 元、3 元、5 元。设F(9)表示想要支付9元最少需要几个硬币。F(9)可以从F(9-1)、F(9-3)、F(9-5)三个状态过来，分别在这三个状态+1，选择最低值就是F(9)最少需要支付多少个硬币。

定义状态转移公式：
$F(S)=mi{n}_{i=0,1,2...n-1}(F(S-c_i))+1$ ,subject to $S-c_i>=0$
$F(0)=0$
$F(S)=-1$,when $n=0$

上一种回溯中是以每次选择一种硬币作为阶段。这次是每次支付够1元，2元，3元…n元，为阶段。

public class CoinChangeV3 {//钱币种类private int[] coins = new int[]{1,3,5};private  int n = coins.length;//总金额private int total = 9;private int f (int total){if(n==0) return -1;if(total == 0) return 0;int minCount = Integer.MAX_VALUE;for(int i=0;i<n;i++){if(coins[i]<=total){int  count = f(total-coins[i]);minCount = Math.min(count,minCount);}}return minCount==Integer.MAX_VALUE?-1:minCount+1;}public int findCoinCount(){return f(total);}
}

备忘录模式

基于上面的回溯画出这样的递归树。树中的每一个节点是一种状态，用f(total)表示。total表示当前方法要支付多少元。（这感觉不像是以前那种状态）我们看到(3). (5)都重复计算了很多次。可以采用备忘录模式，减少计算次数。

public class CoinChangeV3 {//钱币种类private int[] coins = new int[]{1,3,5};private  int n = coins.length;//总金额private int total = 9;private int f (int total,int[] memory){if(n==0) return -1;if(total == 0) return 0;if(memory[total] !=0) return memory[total];int minCount = Integer.MAX_VALUE;for(int i=0;i<n;i++){if(coins[i]<=total){int  count = f(total-coins[i],memory);minCount = Math.min(count,minCount);}}memory[total] =  minCount==Integer.MAX_VALUE?-1:minCount+1;return memory[total];}public int findCoinCount(){int[] memory = new int[total+1];return f(total,memory);}}

动态规划

根据动态转移方程计算。

	public int findCoinCountDp(){int max = total+1;int[] dp = new int[total+1];Arrays.fill(dp,max);dp[0] = 0;for(int i=1;i<=total;i++){for(int j=0;i<coins.length;j++){if(coins[j]<=i){dp[i] = Math.min(dp[i],dp[i-coins[j]]+1);}}}return dp[total]==max?-1:dp[total];}

放在最后的一点体会。将问题抽象为多阶段决策问题，要分清楚是按照什么分阶段。一般来讲是按照目标指标分阶段。例如支付9元最少需要多少个硬币，分阶段为支付8元最少需要多少个硬币，支付7元最少需要多少个硬币…。例如从(0,0)走到(n-1,n-1)最少需要多少步，目标是(n-1,n-1)，前一步可以是(n-1,n-2)或者(n-2,n-1)，知道他们的最少步数+1，就是目标值，所以可以按照到达的坐标分阶段。
按照某个指标做分阶段，回溯法枚举的时候不一定与此相关。回溯法枚举的时候，枚举的是选项。例如不同面值的硬币，不同的前进方向。