我们现在对杨辉三角进行一些改造。每个位置的数字可以随意填写，经过某个数字只能到达下面一层相邻的两个数字。

假设你站在第一层，往下移动，我们把移动到最底层所经过的所有数字之和，定义为路径的长度。请你编程求出从最高层移动到最底层的最短路径长度。

分析

题目的目标是：到 最底层的最短路径长度 。
目标状态是：到达最底层。
分阶段：按照到达第0层、第1层…第m-1层，分阶段。
枚举：向下走的方向，下一层，与此相邻的两个元素
状态维度：一开始我认为状态是(i),表示到达第i层。后来发现第i层不止一个元素，需要到达所有元素才能知道到达第i层的最短路径。所以状态为(i,j)表示到达第i层、第j列。
暴力搜索代码如下。

public class PascaltriangleTransform {private int[][] triangle = new int[][]{new int[]{5},new int[]{7,8},new int[]{2,3,4},new int[]{4,9,6,1},new int[]{2,7,9,4,5}};/*** 对于f(i,j)是有重复计算的。例如在计算f(2,1)的时候需要计算f(1,1)，计算f(2,2)的时候需要计算f(1,1)和f(1,2)。f(1,1)计算了两次* @return*/public int getShortestpathSum(){int m = triangle.length;int n = triangle[m-1].length;int minPathSum = Integer.MAX_VALUE;for(int j=0;j<n;j++){minPathSum = Math.min(minPathSum,f(m-1,j));}return minPathSum;}/*** 到达第i层,第j列的最短路径和* @param i*/private int f(int i, int j) {if(j<0) return Integer.MAX_VALUE;//此路不同if(j>=triangle[i].length) return Integer.MAX_VALUE;//此路不同if(i==0){return triangle[0][0];}else{int val1 = f(i-1,j);int val2 = f(i-1,j-1);return Math.min(val1,val2)+triangle[i][j];}}}

备忘录模式

我们可以使用之前画递归树的方式，发现有重复计算的子问题。
目前我不画了，推理一下。对于f(i,j)是有重复计算的。例如在计算f(2,1)的时候需要计算f(1,1)，计算f(2,2)的时候需要计算f(1,1)和f(1,2)。f(1,1)计算了两次。所以肯定有重复计算的子问题。使用备忘录模式。

public class PascaltriangleTransformV2 {private int[][] triangle = new int[][]{new int[]{5},new int[]{7,8},new int[]{2,3,4},new int[]{4,9,6,1},new int[]{2,7,9,4,5}};public int getShortestpathSum(){int m = triangle.length;int n = triangle[m-1].length;int minPathSum = Integer.MAX_VALUE;int[][] memo = new int[m][n];for(int j=0;j<n;j++){minPathSum = Math.min(minPathSum,f(m-1,j,memo));}return minPathSum;}private int f(int i, int j,int[][] memo) {if(j<0) return Integer.MAX_VALUE;//此路不同if(j>=triangle[i].length) return Integer.MAX_VALUE;//此路不同if(i==0){return triangle[0][0];}else{if(memo[i][j]>0) return memo[i][j];//假设triangle的值都是正整数int val1 = f(i-1,j,memo);int val2 = f(i-1,j-1,memo);memo[i][j] = Math.min(val1,val2)+triangle[i][j];return memo[i][j];}}
}

动态规划
这道题目的动态转移方程还是比较好找的。

min_sum(i,j)=min(min_sum(i-1,j),min_sum(i-1,j-1))+triangle[i][j]
当i=0,j=0的时候 min_sum(0,0)=triangle[0][0]

代码实现如下。

public class PascaltriangleTransformV3 {private int[][] triangle = new int[][]{new int[]{5},new int[]{7,8},new int[]{2,3,4},new int[]{4,9,6,1},new int[]{2,7,9,4,5}};public int getShortestpathSum(){int m = triangle.length;int n = triangle[m-1].length;int[][] dp = new  int[m][n];dp[0][0] = triangle[0][0];for(int i=1;i<m;i++){for(int j=0;j<=i;j++){int val1 = (j-1)>=0?dp[i-1][j-1]:Integer.MAX_VALUE;int val2 = (j<=i-1)?dp[i-1][j]:Integer.MAX_VALUE;dp[i][j] = Math.min(val1,val2)+triangle[i][j];}}int minPathSum = Integer.MAX_VALUE;for(int j=0;j<n;j++){minPathSum = Math.min(minPathSum,dp[m-1][j]);}return minPathSum;}}